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17.(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,點E、F分別為棱AB、PD的中點.
(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)求證:平面PCE⊥平面PCD;
(3)求三棱錐C-BEP的體積.
08屆高三月考聯(lián)考
文科數學試題參考答案
一、選擇題(每小題5分,共50分)
題號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
答案 |
B |
A |
B |
B |
C |
C |
A |
D |
C |
D |
二、填空題(每小題5分,共20分)
11. 8 ; 12. AC⊥BD ( ABCD是正方形或菱形);
13. ??; 14. ;
三、解答題(本大題共6小題,共80分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分12分)
解:(1) ……………………………………………………1分
………………………………………………………………………………2分
. ……………………………………………………………………………………4分
的最小正周期是. …………………………………………………………………………6分
(2) 由得 ………………………………………….8分
∵,∴ ∴ …………………………10分
∴ …………………………………………………………………12分
16.(本小題滿分12分)
解:(1)當時,,對任意
為偶函數 …………………………………3分
當時,
取,得
函數既不是奇函數,也不是偶函數……6分
(2)解法一:要使函數在上為增函數
等價于在上恒成立 ……………………………………………………8分
即在上恒成立,故在上恒成立
∴ ……………………………………………………10分
∴ 的取值范圍是 ……………………………………………………………………12分
解法二:設
…………8分
要使函數在上為增函數,必須恒成立
,即恒成立 ……………………………………………………10分
又,
的取值范圍是 ……………………………………………………………………12分
17.(本小題滿分14分)
證明: (1)取PC的中點G,連結FG、EG
∴FG為△CDP的中位線 ∴FGCD……1分
∵四邊形ABCD為矩形,E為AB的中點
∴ABCD ∴FGAE
∴四邊形AEGF是平行四邊形 ………………2分
∴AF∥EG ………3分
又EG平面PCE,AF平面PCE ………4分
∴AF∥平面PCE ………………………………………5分
(2)∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD,PA⊥CD,又AD⊥CD,PAAD=A
∴CD⊥平面ADP
又AF平面ADP ∴CD⊥AF …………………………………………………… 6分
直角三角形PAD中,∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形 ∴PA=AD=2 …………………………………… 7分
∵F是PD的中點
∴AF⊥PD,又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD …………………………………………………… 8分
∵AF∥EG
∴EG⊥平面PCD …………………………………………………… 9分
又EG平面PCE
平面PCE⊥平面PCD …………………………………………………… 10分
(3)三棱錐C-BEP即為三棱錐P-BCE ……………………………………………………11分
PA是三棱錐P-BCE的高,
Rt△BCE中,BE=1,BC=2,
∴三棱錐C-BEP的體積
VC-BEP=VP-BCE= … 14分
18.(本小題滿分14分)
解:(1)由已知得 解得.…………………1分
設數列的公比為,由,可得.
又,可知,即, ……………………………4分
解得.
由題意得. .……………………………………………………………………… 6分
故數列的通項為. … ……………………………………………………………………………8分
(2)由于 由(1)得
= ………………………………………………………………………………10分
又
是首項為公差為的等差數列 ………………………………12分
……………………………………………14分
19.(本小題滿分14分)
解:(1)如圖,設為動圓圓心, ,過點作直線的垂線,垂足為,由題意知: ……………………………………2分
即動點到定點與到定直線的距離相等,
由拋物線的定義知,點的軌跡為拋物線,其中為焦點,
為準線,
∴動圓圓心的軌跡方程為 ……………………………………5分
(2)由題可設直線的方程為
由得
△, …………………………………………………………………………7分
設,,則, ……………………………………………9分
由,即 ,,于是, ……11分
即,,
,解得或(舍去), …………………………………13分
又, ∴ 直線存在,其方程為 ……………………………14分
20.(本小題滿分14分)
解:(1)由已知,得,比較兩邊系數,
得. ………………………………4分
(2)令,要有三個不等的實數根,則函數有
一個極大值和一個極小值,且極大值大于0,極小值小于0. ……………………………5分
由已知,得有兩個不等的實根,
, 得.…………… 6分
又,,將代入(1)(3),有,又
., ………………8分
則,且在處取得極大值,在處取得極小值…10分 故要有三個不等的實數根,
則必須 ……………………… 12分
解得. ……………………… 14分