數(shù)學答案(理科)

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．

CDDAB　　　CACAC 　　BB

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共10分

13．　　　 14．　 　　15．　　　　16．①②③④

三、解答題：本大題共6小題，共70分．

17．(本小題滿分10分)

解：(Ⅰ)(cos,sin), (cos,sin)，

(cos－cos，sin－sin)．

，=，………2分

即2－2cos(=，

cos(=．…………………5分

(Ⅱ)0<，，，

cos(=．sin(=，…………………7分

sin=－，cos=．…………………8分

=sin=sin(cos+cos(sin

=+()．…………………10分

18．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)記表示事件：“在新賽制下，乙以獲勝”，則

．…………………4分

　　因此，在新賽制下，乙以獲勝的概率為．…………………5分

　　 (Ⅱ)記表示事件：“采用新賽制，乙獲勝”，

表示事件：“采用新賽制，乙以獲勝”，

表示事件：“采用新賽制，乙以獲勝”，

表示事件：“采用新賽制，乙以獲勝”．

則，且，，彼此互斥，

，，，

…………………7分

采取新賽制，乙獲勝的概率

．…………………9分

　　記表示事件：“采取三局二勝制，乙獲勝”，

　　同理，采取三局二勝制，乙獲勝的概率

…………………10分

．…………………11分

　　所以，采取新賽制對甲更有利．…………………12分

19．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)連接，依題意可得為的中點，

連接，設交于點，

又為的中點，

∴．…………2分

在正方形中，，

∴．…………………4分

(Ⅱ)，，

面，又，

　　面，∴為所求距離．…………………6分

又正方體的棱長為，，．

因此，點到平面的距離為．…………………8分

(也可由體積相等，求得距離為)

　(Ⅲ)連接，，則，而，∴，

　　　 由(Ⅱ)知面，∴為在平面內(nèi)的射影，

由三垂線定理知，

所以為二面角的平面角．…………………10分

在中，，，

．

所以，二面角的大小為．…………………12分

20．(本小題滿分12分)

解：(I)　　　　　 …………………1分

　　　　　　　　　　　　　 ， …………………3分

　　　　　　　　　　　　　 ∴數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，　　　 …………………4分

　　　　　　　 ∴數(shù)列的通項公式為．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………6分

(II)，　　 …………………8分

　∴

，　　　　 …………………10分

，

，

．　　　 …………………12分

21．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)當時，，．……………2分

當在上變化時，，的變化情況如下表：

		－		+

　　…………………4分

　　∴時，，．…………6分

(Ⅱ)∵，，　　　　　　

∴原不等式等價于：,

即, 亦即．

∴對于任意的，原不等式恒成立,等價于對恒成立, …9分

∵對于任意的時, (當且僅當時取等號)．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是.　　　　　　 …………12分

22．(本小題滿分12分)

解: (Ⅰ)依題意，由余弦定理得：, …2分

即

.

,即.　　…………4分

(當動點與兩定點共線時也符合上述結(jié)論)

動點的軌跡為以為焦點,實軸長為的雙曲線．

所以，軌跡的方程為.　　　　 …………6分

(Ⅱ)假設存在定點,使為常數(shù)．

(1)當直線　不與軸垂直時，

設直線的方程為,代入整理得:

．　　　　　　　　　　　　 …………7分

由題意知，．

設,,則,．…………8分

于是，　　 …………9分

．　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

要使是與無關的常數(shù)，當且僅當，此時． ……11分

(2)當直線　與軸垂直時，可得點,，

當時，．　　　

故在軸上存在定點,使為常數(shù).　　　　 …………12分