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12、設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:“①方程有實(shí)數(shù)根;②
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”
(I)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素,并說明理由;
(II)集合M中的元素具有下面的性質(zhì):若的定義域?yàn)镈,則對于任意
[m,n]D,都存在[m,n],使得等式成立”,
試用這一性質(zhì)證明:方程只有一個實(shí)數(shù)根;
(III)設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根,求證:對于定義域中任意的.
解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image142.gif">,…………2分
所以滿足條件………………3分
又因?yàn)楫?dāng)時,,所以方程有實(shí)數(shù)根0.
所以函數(shù)是集合M中的元素.…………4分
(2)假設(shè)方程存在兩個實(shí)數(shù)根),
則,………5分 不妨設(shè),根據(jù)題意存在數(shù)
使得等式成立,……………………7分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image152.gif">,所以,
與已知矛盾,所以方程只有一個實(shí)數(shù)根;…………9分
(3)不妨設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image155.gif">所以為增函數(shù),所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image157.gif">,所以函數(shù)為減函數(shù),………………10分
所以,…………11分
所以,即…………12分
所以
…………………………13分