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35、(理)已知為正常數(shù)。
(1)可以證明:定理“若、,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))”推廣到三個(gè)正數(shù)時(shí)結(jié)論是正確的,試寫出推廣后的結(jié)論(無需證明);
(2)若在上恒成立,且函數(shù)的最大值大于,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并由此猜測的單調(diào)性(無需證明);
(3)對(duì)滿足(2)的條件的一個(gè)常數(shù),設(shè)時(shí),取得最大值。試構(gòu)造一個(gè)定義在上的函數(shù),使當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。
解:(1)若、、,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))。
(2)在上恒成立,即在上恒成立,
∵,∴,即,
又∵
∴,即時(shí),
,
又∵,∴?! ?綜上,得 。
易知,是奇函數(shù),∵時(shí),函數(shù)有最大值,∴時(shí),函數(shù)有最小值。
故猜測:時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增。
(3)依題意,只需構(gòu)造以為周期的周期函數(shù)即可。
如對(duì),,此時(shí),
即 。
(文)已知函數(shù),,
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(Ⅱ)求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對(duì):當(dāng)是整數(shù)時(shí),存在,使得是的最大值,是的最小值;
(Ⅲ)對(duì)滿足(Ⅱ)的條件的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì),試構(gòu)造一個(gè)定義在,且上的函數(shù),使當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,
若,,則在上單調(diào)遞減,不符題意。
故,要使在上單調(diào)遞增,必須滿足 ,∴ 。
(Ⅱ)若,,則無最大值,故,∴為二次函數(shù),
要使有最大值,必須滿足,即且,
此時(shí),時(shí),有最大值。
又取最小值時(shí),,依題意,有,則,
∵且,∴,得,此時(shí)或。
∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)是。
(Ⅲ)當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)是時(shí),
依題意,只需構(gòu)造以2(或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可。
如對(duì),,
此時(shí),,
故。