22.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力.滿分14分.
(Ⅰ)證法一:由題設(shè)及,,不妨設(shè)點(diǎn),其中.由于點(diǎn)在橢圓上,有,即.
解得,從而得到.
直線的方程為,整理得.
由題設(shè),原點(diǎn)到直線的距離為,即,
將代入上式并化簡(jiǎn)得,即.
證法二:同證法一,得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.
過(guò)點(diǎn)作,垂足為,易知,故.
由橢圓定義得,又,
所以,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí),由知,直線的斜率為,所以直線的方程為,或,其中,.
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
將①式代入②式,得,
整理得,
于是,.
由①式得
.
由知.將③式和④式代入得,
.
將代入上式,整理得.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,的坐標(biāo)滿足方程組
所以,.
由知,即,
解得.
這時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足.
綜上,點(diǎn)的軌跡方程為?。?
解法二:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,由,垂足為,可知直線的方程為.
記(顯然),點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由①式得. ?、?
由②式得. ?、?
將③式代入④式得.
整理得,
于是. ?、?
由①式得. ?、?
由②式得.?、?
將⑥式代入⑦式得,
整理得,
于是. ?、?
由知.將⑤式和⑧式代入得,
.
將代入上式,得.
所以,點(diǎn)的軌跡方程為.
四川文
(5)如果雙曲線=1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2,那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是
(A) (B) (C) (D)
(10)已知拋物線y-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,則|AB|等于
A.3
B.4
C.3
D.4
解析:選C.設(shè)直線的方程為,由,進(jìn)而可求出的中點(diǎn),又由在直線上可求出,∴,由弦長(zhǎng)公式可求出.本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.自本題起運(yùn)算量增大.
(21)(本小題滿分12分)
求F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若r是第一象限內(nèi)該數(shù)軸上的一點(diǎn),,求點(diǎn)P的作標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于同的兩點(diǎn)A、B,且∠ADB為銳角(其中O為作標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.
解析:本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力.
(Ⅰ)易知,,.
∴,.設(shè).則
,又,
聯(lián)立,解得,.
(Ⅱ)顯然不滿足題設(shè)條件.可設(shè)的方程為,設(shè),.
聯(lián)立
∴,
由
,,得.①
又為銳角,
∴
又
∴
∴.②
綜①②可知,∴的取值范圍是.
四川理
20)(本小題滿分12分)設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求.的最大值和最小值;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且∠為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.
(20)本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力。
解:(Ⅰ)解法一:易知
所以,設(shè),則
因?yàn)椋十?dāng),即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值
當(dāng),即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),有最大值
解法二:易知,所以,設(shè),則
(以下同解法一)
(Ⅱ)顯然直線不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線,
聯(lián)立,消去,整理得:
∴
由得:或
又
∴
又
∵,即 ∴
故由①、②得或
上海理