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21.[解]
(1)∵F0(c,0)F1(0,),F2(0,)
∴| F0F1 |=,| F1F2 |=
于是,,所求“果圓”方程為
(x≥0),(x≤0). ……4分
(2)由題意,得a+c>2b,即.
∵(2b)2>b2+c2,∴a2-b2>(2b-a)2,得 ……7分
又b2>c2=a2-b2,∴.
∴.
(3)設(shè)“果圓”的方程為(x≥0)(x≤0)
記平行弦的斜率為k.
當(dāng)k=0時(shí),直線y=t(-b≤t≤b)與半橢圓(x≥0)的交點(diǎn)是
,與半橢圓(x≤0)的交點(diǎn)是Q().
∴P、Q的中點(diǎn)M(x,y)滿足
得.
∵a<2b,∴.
綜上所述,當(dāng)k=0時(shí),“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓……14分
當(dāng)k>0時(shí),以k為斜率過B1的直線l與半橢圓(x≥0)的交點(diǎn)是
由此,在直線l右測(cè),以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上,即不在某一橢圓上. ……17分
當(dāng)k<0時(shí),可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上. ……18分
上海文
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