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5．若
，則下列命題中正確的是( D )
A．
B．
C．
D．
(江西文8)
若，則下列命題正確的是( B )
A．
B．
C． D．
(遼寧理12)
已知
與
是定義在
上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)
時(shí)的函數(shù)值為0，且
，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是(
)
A．0是的極大值，也是的極大值
B．0是的極小值，也是的極小值
C．0是的極大值，但不是的極值
D．0是的極小值，但不是的極值
(全國一文11)
曲線
在點(diǎn)
處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為( A )
A．
B．
C．
D．
(全國二文8)
已知曲線
的一條切線的斜率為
，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( A )
A．1 B．2 C．3 D．4
(浙江理8)
設(shè)
是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將
和
的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是( D )
(北京文9)
是
的導(dǎo)函數(shù)，則
的值是＿＿＿＿．3
(廣東文12)
函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿＿．
(江蘇13)
已知函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值與最小值分別為
，則
＿＿．32
(湖北文13)
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)
處的切線方程是
，則
＿＿＿＿．3
(湖南理13)
函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值是＿＿＿＿．
(浙江文15)
曲線
在點(diǎn)
處的切線方程是＿＿＿＿．
(安徽理 18)
設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln2 x+2a ln x(x>0).
(Ⅰ)令F(x)＝xf＇(x)，討論F(x)在(0.+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
(Ⅱ)求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x－2a ln x+1.
本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問題的能力．本小題滿分14分．
(Ⅰ)解：根據(jù)求導(dǎo)法則有
，
故
，
于是
，
列表如下：
 |
 |
2 |
 |
 |
 |
0 |
 |
 |
 |
極小值 |
|
故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在
處取得極小值
．
(Ⅱ)證明：由
知，的極小值
．
于是由上表知，對(duì)一切
，恒有
．
從而當(dāng)
時(shí)，恒有
，故在
內(nèi)單調(diào)增加．
所以當(dāng)
時(shí)，
，即
．
故當(dāng)時(shí)，恒有
．
(安徽文 20)
設(shè)函數(shù)f(x)=-cos2x-4tsin
cos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中
≤1，將f(x)的最小值記為g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表達(dá)式；
(Ⅱ)詩論g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.
本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析解決多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值與最值等問題的綜合能力．
解：(I)我們有
．
由于
，
，故當(dāng)
時(shí)，達(dá)到其最小值
，即
．
(II)我們有
．
列表如下：
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
由此可見，在區(qū)間
和單調(diào)增加，在區(qū)間
單調(diào)減小，極小值為
，極大值為
．
(北京理 19)
如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為
，短半軸長為
，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底
是半橢圓的短軸，上底
的端點(diǎn)在橢圓上，記
，梯形面積為
．
(I)求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
(II)求面積的最大值．
解：(I)依題意，以的中點(diǎn)
為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系
(如圖)，則點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為．
點(diǎn)的縱坐標(biāo)
滿足方程
，
解得
，
其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384023_1/image140.gif">．
(II)記
，
則
．
令
，得
．
因?yàn)楫?dāng)
時(shí)，；當(dāng)
時(shí)，
，所以
是的最大值．
因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為
．
即梯形面積的最大值為
．
(福建理 22)
已知函數(shù)
(Ⅰ)若
，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若
，且對(duì)于任意
，
恒成立，試確定實(shí)數(shù)
的取值范圍；
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)
，求證：
．
本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．滿分14分．
解：(Ⅰ)由得
，所以
．
由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是
，
由得
，故的單調(diào)遞減區(qū)間是
．
(Ⅱ)由
可知
是偶函數(shù)．
于是對(duì)任意成立等價(jià)于
對(duì)任意
成立．
由
得
．
①當(dāng)
時(shí)，
．
此時(shí)在
上單調(diào)遞增．
故
，符合題意．
②當(dāng)
時(shí)，
．
當(dāng)變化時(shí)
的變化情況如下表：
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
由此可得，在上，
．
依題意，
，又
．
綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是
．
(Ⅲ)
，
，
，
由此得，
故
．
(福建文 20)
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ)求的最小值
；
(Ⅱ)若
對(duì)
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力．滿分12分．
解：(Ⅰ)
，
當(dāng)
時(shí)，取最小值
，
即
．
(Ⅱ)令
，
由
得
，
(不合題意，舍去)．
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
遞增 |
極大值 |
遞減 |
在
內(nèi)有最大值
．
在內(nèi)恒成立等價(jià)于
在內(nèi)恒成立，
即等價(jià)于
，
所以的取值范圍為
．
(廣東理、文 20)
已知
是實(shí)數(shù)，函數(shù)
．如果函數(shù)在區(qū)間
上有
零點(diǎn)，求的取值范圍．
解: 若
,
,顯然在上沒有零點(diǎn), 所以 
令 
得 
當(dāng) 
時(shí), 
恰有一個(gè)零點(diǎn)在
上;
當(dāng) 
即 
時(shí), 也恰有一個(gè)零點(diǎn)在上;
當(dāng) 在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則
或
解得
或
因此的取值范圍是 
或 
;
(海南理 21)
設(shè)函數(shù)
(I)若當(dāng)
時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；
(II)若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于
．
解：(Ⅰ)
，
依題意有
，故
．
從而
．
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384023_1/image241.gif">，當(dāng)
時(shí)，；
當(dāng)
時(shí)，；
當(dāng)
時(shí)，．
從而，分別在區(qū)間
單調(diào)增加，在區(qū)間
單調(diào)減少．
(Ⅱ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384023_1/image247.gif">，
．
方程
的判別式
．
(ⅰ)若
，即
，在的定義域內(nèi)，故的極值．
(ⅱ)若
，則
或
．
若
，
，
．
當(dāng)
時(shí)，，當(dāng)
時(shí)，，所以無極值．
若，
，
，也無極值．
(ⅲ)若
，即
或
，則有兩個(gè)不同的實(shí)根
，
．
當(dāng)時(shí)，
，從而有的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故無極值．
當(dāng)時(shí)，
，
，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知在
取得極值．
綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為
．
的極值之和為
．
(海南文 19)
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)討論的單調(diào)性；
(Ⅱ)求在區(qū)間
的最大值和最小值．
解：的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384023_1/image241.gif">．
(Ⅰ)
．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
從而，分別在區(qū)間
，
單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在區(qū)間的最小值為
．
又
．
所以在區(qū)間的最大值為
．
(湖北理 20)
已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
，
，其中
．設(shè)兩曲線，
有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
(I)用表示
，并求的最大值；
(II)求證：()．
本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．
解：(Ⅰ)設(shè)與
在公共點(diǎn)
處的切線相同．
，
，由題意
，
．
即
由
得：
，或
(舍去)．
即有
．
令
，則
．于是
當(dāng)
，即
時(shí)，
；
當(dāng)
，即
時(shí)，
．
故在
為增函數(shù)，在
為減函數(shù)，
于是在的最大值為
．
(Ⅱ)設(shè)
，
則
．
故在
為減函數(shù)，在
為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是
．
故當(dāng)時(shí)，有
，即當(dāng)時(shí)，
．
(湖北文 19)
設(shè)二次函數(shù)
，方程
的兩根
和
滿足
．
(I)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(II)試比較
與
的大?。⒄f明理由．
本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力．
解法1：(Ⅰ)令
，
則由題意可得
．
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是
．
(II)
，令
．
當(dāng)時(shí)，
單調(diào)增加，當(dāng)
時(shí)，
，即
．
解法2：(I)同解法1．
(II)
，由(I)知，
．又
于是
，
即
，故
．
解法3：(I)方程
，由韋達(dá)定理得
，
，于是
．
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．
(II)依題意可設(shè)
，則由，得
，故．
(湖南理 19)
如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)
和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面
所成的二面角為
(
)，且
，點(diǎn)到平面的距離
(km)．沿山腳原有一段筆直的公路可供利用．從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為
萬元/km．當(dāng)山坡上公路長度為
km(
)時(shí)，其造價(jià)為
萬元．已知
，
，
，
．
(I)在上求一點(diǎn)
，使沿折線
修建公路的總造價(jià)最??；
(II) 對(duì)于(I)中得到的點(diǎn)，在
上求一點(diǎn)
，使沿折線
修建公路的總造價(jià)最?。?/p>
(III)在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)
，
，使沿折線
修建公路的總造價(jià)小于(II)中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論．
解：(I)如圖，
，
，，
由三垂線定理逆定理知，
，所以
是
山坡與所成二面角的平面角，則
，
．
設(shè)
，
．則
．
記總造價(jià)為
萬元，
據(jù)題設(shè)有
當(dāng)
，即
時(shí)，總造價(jià)最?。?/p>
(II)設(shè)
，
，總造價(jià)為
萬元，根據(jù)題設(shè)有
．
則
，由
，得
．
當(dāng)
時(shí)，
，在內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)
時(shí)，
，在
內(nèi)是增函數(shù)．
故當(dāng)，即
(km)時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為
萬元．
(III)解法一：不存在這樣的點(diǎn)，．
事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，．為使總造價(jià)最小，顯然不能位于 與
之間．故可設(shè)位于與
之間，且
=
，
，
，總造價(jià)為萬元，則
．類似于(I)、(II)討論知，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)
，
同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)
，
，取得最小值，點(diǎn)
分別與點(diǎn)
重合，所以不存在這樣的點(diǎn) ，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(II)中得到的最小總造價(jià)．
解法二：同解法一得
．
當(dāng)且僅當(dāng)且
，即
同時(shí)成立時(shí)，取得最小值，以上同解法一．
(湖南文 21)
已知函數(shù)
在區(qū)間
，
內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．
(I)求
的最大值；
(II)當(dāng)
時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)
處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)的表達(dá)式．
解：(I)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以
在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，
設(shè)兩實(shí)根為
(
)，則
，且
．于是
，
，且當(dāng)
，即
，
時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．
(II)解法一：由
知在點(diǎn)
處的切線的方程是
，即
，
因?yàn)榍芯€在點(diǎn)
處空過的圖象，
所以
在
兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則
不是的極值點(diǎn)．
而
，且
．
若
，則和
都是的極值點(diǎn)．
所以
，即，又由，得
，故
．
解法二：同解法一得
．
因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在
(
)．
當(dāng)
時(shí)，
，當(dāng)
時(shí)，
；
或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
設(shè)
，則
當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，；
或當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，．
由
知是
的一個(gè)極值點(diǎn)，則
，
所以，又由，得，故．
(遼寧理 22)
已知函數(shù)
，
．
(I)證明：當(dāng)
時(shí)，在上是增函數(shù)；
(II)對(duì)于給定的閉區(qū)間
，試說明存在實(shí)數(shù) ，當(dāng)
時(shí)，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；
(III)證明：
．
(遼寧文 22)
已知函數(shù)
，
，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有
，
．
(I)求函數(shù)的解析式；
(II)若對(duì)任意的
，恒有
，求的取值范圍．
(全國一 理20)
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ)證明：的導(dǎo)數(shù)
；
(Ⅱ)若對(duì)所有都有
，求的取值范圍．
解：(Ⅰ)的導(dǎo)數(shù)
．
由于
，故．
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)．
(Ⅱ)令
，則
，
(ⅰ)若
，當(dāng)時(shí)，
，
故在
上為增函數(shù)，
所以，時(shí)，
，即．
(ⅱ)若
，方程
的正根為
，
此時(shí)，若
，則
，故在該區(qū)間為減函數(shù)．
所以，時(shí)，
，即
，與題設(shè)相矛盾．
綜上，滿足條件的的取值范圍是
．
(全國一文 20)
設(shè)函數(shù)
在及時(shí)取得極值