參考答案

命題人：徐唐藩　 校對：涂彩琴　 方肇飛　　 編審：高三數(shù)學組

一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求)

　　提示：(文)

　　　　 12.(文)由二次函數(shù)的值域是,得且,∴且

　　　　　　　 ,.∴.當時取等號.

　 (理)提示：由二次函數(shù)的值域是,得且,∴且

　　　　　　　 ,.∴.

　　　　　　　 當時取等號.

二.填空題(本大題4個小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)

　　　 　　　13.　 　　　　　　　14.(文)　　(理)　　　 　　　　　15.　 　　　　　　16.

三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

　17.(本小題滿分12分)解：(Ⅰ)由、、成等差數(shù)列及,知.

　　　　　 ∵,∴.由、、為三角形

　　　　　　 內(nèi)角,且,∴,故為等邊三角形.

　　 (Ⅱ),

　　　　　 ∴當時,取得最大值,此時,,.

　18.(本小題滿分12分)(文) 解：(Ⅰ)由,得或.

　　　　　　　　 當,變化時,、的變化如下表：

　　　　　　　　　 ∴,,解得,.∴.

　　 (Ⅱ)由題意,時,恒有,即恒成立.∵,當且僅當

　　　　　　 時取等號,∴,故的取值范圍為.

　　 (理)解：(Ⅰ),令得或(舍去)

　　　　　　　　　　 ∴當時,單調(diào)遞增；當時,單調(diào)遞減.

　　　 　　　　　　　∴為函數(shù)在上的極大值.

　　　 (Ⅱ)由得,或.

　　　　　　　 設,,依題意知或

　　　　　　　 在上恒成立, ∵,

　　　　　　　 ,∴與都在上單增,要使不等式①

　　　　　　　 成立,當且僅當或,即或.

　19.(本小題滿分12分)(文)解：(Ⅰ).

　　　　　 (Ⅱ)或.

　　 (理)解：(Ⅰ)取卡片次數(shù)的可能值為.∴. ,

　　　　 ,.故.

　　　　 .

　　 　(Ⅱ)設有放回抽取卡片時,取卡片次數(shù)為,則的可能值為.

　　　　　 ∵,

　　　 　　∴的分布列為：

　　　 ∴.

　20.(本小題滿分12分)解：(Ⅰ)延長、相交于點,連結,則二面角

　　　　　　 的大小為所求.作于點,連結,由三垂線定理知

　　　　　　 .∴為所求二面角的大小.由已知,,

　　　　　　 .由余弦定理得,.

　　　　　　 ∴,可得.

　　　　　　 在中,,則所求角為.

　　 (Ⅱ)由已知矩形的面積為,,,,

　　　　　　 ∴.取的中點,則.

　　　　　　 作交于點,可得,∴平面,.由,

　　　　　　 ,得.設所求距離為,則由得,

　　　　　　 ,∴為所求.

　21.(本小題滿分12分)

　　 (文)解：(Ⅰ).∵,

　　　　　　 ∴.又,若,則,即,這與

　　　　　　　 矛盾,故.∴,,.∴.

　　　 (Ⅱ)∵,∴是首項為,公差為的等差數(shù)列,∴,

　　　　　　　 .故是首項為,公差為的等差數(shù)列.∵時,；時,；

　　　　　　 時,.故當或時,最大.

　　 (理)解：(Ⅰ)∵,∴.

　　　　　　　　　　 ∴.

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴.

　　　　　　　 ∴.

　　 (Ⅲ)∵當時,,當且僅當時取等號.且,

　　　　　　 故,,……,. 以上個式子相加,

　　　　　　 得,∴,

　　　　　　 ∴,∴.

　　　　　　 故得證.

　22.(本小題滿分14分)(文)解：(Ⅰ),,∴,.

　　　　　　　　　　 由余弦定理,,得.

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,∴時,

　　　　　　 的最小值為.當時,.可設橢圓的方程此時由得,

　　　　　　 ,∴.設,則

　　　　　　 .當時,的最大值為,

　　　　　　 ∴,故橢圓的方程.

　 (理)解：(Ⅰ),,∴,.由余弦定理,

　　　　　　　 　　　,得.

　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知.設,知時,在

　　　　 上單調(diào)遞增,∴時,,得.設,則,.不妨設

　　　　 點在第一象限.由,得,,∴.

　　　　 設是橢圓上動點,則,相減得,

　　　　 即.則時,.設切線的方程為：

　　　 　　①, 又　 ②. 將②代入①整理得,.

　　　 令得,,∴.又,故.