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20、(本小題滿分16分)
橢圓G:的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0),M是橢圓上的一點(diǎn),且滿足
(Ⅰ)求離心率e的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)離心率e取得最小值時(shí),點(diǎn)N(0,3)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為
(1)求此時(shí)橢圓G的方程;
(2)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、
B,Q為AB的中點(diǎn),問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)的直線對(duì)稱?若能,求出k
的取值范圍;若不能,請(qǐng)說明理由.
參考答案
1、 2、或 3、 4、 5、
6、 7、 8、24,12 9、66 10、 11、
12、 13、 14、②③
15、解:(Ⅰ)設(shè)的兩根
則
……………………………………………………………………2分
………………………………………………………………4分
又
……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由
①………………………………………………………………8分
由余弦定理:
即:
②……………………………………………………12分
由①②得:a=8,b=5 ……………………………………………………14分
16、(1)。……………………………………………………………………(3分)
(2)∵, (7分)
∴若任意交換中兩個(gè)角的位置,的值不會(huì)改變。……………………………(8分)
(3)不妨設(shè),
則,…(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),?!?14分)
17、解證:(Ⅰ)………………………………1分
當(dāng)n≥2時(shí),………………2分
故是以2為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列.…………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得…………………5分
當(dāng)n≥2時(shí),…………………………6分
當(dāng)n=1時(shí),………………8分
(Ⅲ)1°當(dāng)n=1時(shí),成立…………………………9分
2°假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,即成立
則當(dāng)n=k+1時(shí),
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立
由1°,2°可知對(duì)任意n∈N*不等式成立.
(Ⅲ)另證:
…………14分
18、解證:(I)易得…………………………………………1分
的兩個(gè)極值點(diǎn)
的兩個(gè)實(shí)根,又a>0
……………………………………………………5分
∴
∵
……………………………………………………9分
(Ⅱ)設(shè)則
由
上單調(diào)遞增………………12分
………………………………………………16分
19、解:(I)f(0)=10表示當(dāng)甲公司不投入宣傳費(fèi)時(shí),乙公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗風(fēng)險(xiǎn),至少要投入10萬元宣傳費(fèi);g(0)=20表示當(dāng)乙公司不投入宣傳費(fèi)時(shí),甲公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn),至少要投入20萬元宣傳費(fèi)。…………………………4分
(Ⅱ)設(shè)甲公司投入宣傳費(fèi)x萬元,乙公司投入宣傳費(fèi)y萬元,依題意,當(dāng)且僅當(dāng)
成立,雙方均無失敗的風(fēng)險(xiǎn)……………………8分
由(1)(2)得
……………………14分
答:要使雙方均無失敗風(fēng)險(xiǎn),甲公司至少要投入24萬元,乙公司至少要投入16萬元。
……………………………………………………………………………………16元
20解:(I)設(shè)M(x0,y0)
①
又 ②……………………2分
由②得代入①式整理得
又
解得
……………………………………………………………………4分
(Ⅱ)(i)當(dāng)
設(shè)H(x,y)為橢圓上一點(diǎn),則
若0
由(舍去)…………………………6分
若b≥3,當(dāng)y=-3時(shí),|HN|2有最大值2b2+18
由2b2+18=50得b2=16
∴所求橢圓方程為……………………………………8分
(ii)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),則由
③
又直線PQ⊥直線l ∴直線PQ方程為
將點(diǎn)Q(x0,y0)代入上式得, ④………………11分
由③④得Q…………………………………………12分
(解1)而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部
由此得
故當(dāng)時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱.…………16分
(解2)∴AB所在直線方程為
由得
顯然1+2k2≠0
而
直線l與橢圓有兩不同的交點(diǎn)A、B ∴△>0
解得
故當(dāng)時(shí),A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱。
…………………………………………………………………………16分
(ii)另解;設(shè)直線l的方程為y=kx+b
由得
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),則
③……………………9分
又直線PQ⊥直線l ∴直線PQ方程為
將點(diǎn)Q(x0,y0)代入上式得, ④………………10分
將③代入④⑤…………………………………………11分
∵x1,x2是(*)的兩根
⑥……12分
⑤代入⑥得
∴當(dāng)時(shí),A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱。……16分
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