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17 (本小題12分) 已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值,最小值
18 (本小題12分)
某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,摸出一個(gè)紅球獲得二等獎(jiǎng);摸出兩個(gè)紅球獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次.求
(1)甲、乙兩人都沒有中獎(jiǎng)的概率;
(2)甲、乙兩人中至少有一人獲二等獎(jiǎng)的概率.
19 (本小題滿分12分)
如圖,已知正三棱柱ABC- ,D是AC的中點(diǎn),∠DC = 60°
(1)求證:A∥平面BD;
(2)求二面角D-B-C的大小
20 (本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1時(shí)都取得極值.
(1)求a、b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.
21.(本小題12分)
已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根,且.
(1)求,,,;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和;
(3)求
22 (本小題14分)
如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線⊥x軸與點(diǎn)C, ,,動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)D的距離的2倍
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)K為點(diǎn)的軌跡與x軸正半軸的交點(diǎn),直線交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)
(與點(diǎn)K均不重合),且滿足 求直線EF在X軸上的截距;
(3)在(2)的條件下,動(dòng)點(diǎn)滿足,求直線的斜率的取值范圍
(注:解答題答題卷的空間自留)
參考答案
一、選擇題
1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7. A 8.A 9.C 10.D
11.C 12.B
二、填空題
13、3 14、 15、-160 16、 ()
三、解答題
17、(1) ……… 3分
的最小正周期為 ………………… 5分
(2), ………………… 7分
………………… 10分
………………… 11分
當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為1,最小值 ……… 12分
18(1)P1=; ……… 6分
(2)方法一:P2=
方法二:P2=
方法三:P2=1- ……… 12分
19、解法一:(1)連結(jié)C交BC于O,則O是B C的中點(diǎn),連結(jié)DO
∵在△AC中,O、D均為中點(diǎn),
∴A∥DO…………………………2分
∵A平面BD,DO平面BD,∴A∥平面BD ……4分
(2)設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2,則DC = 1,
∵∠DC = 60°,∴C= ,作DE⊥BC于E。
∵平面BC⊥平面ABC,∴DE⊥平面BC
作EF⊥B于F,連結(jié)DF,則 DF⊥B
∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……8分
在Rt△DEC中,DE=
在Rt△BFE中,EF = BE.sin
∴在Rt△DEF中,tan∠DFE =
∴二面角D-B-C的大小為arctan………………12分
解法二:以AC的中D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = ,
則A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),
(1,0), ,
(1)連結(jié)C交B于O是C的中點(diǎn),連結(jié)DO,則
O, =
∵A平面BD,∴A∥平面BD .………………………4分
(2)=(-1,0,),
設(shè)平面BD的法向量為n = ( x , y , z ),則
即 則有= 0令z = 1
則n = (,0,1) …………………………………8分
設(shè)平面BC的法向量為m = ( x′ ,y′,z′)
|
|
|
|
|
令y = -1,解得m = (,-1,0)
二面角D -B-C的余弦值為cos<n , m>=
∴二面角D-B-C的大小為arc cos …………12分
20、(1)f(x)=x3+ax2+bx+c, f′(x)=3x2+2ax+b,
由f′(-)=a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,得
a=-,b=-2,………… 3分
f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:
x |
(-∞,-) |
- |
(-,1) |
1 |
(1,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-)與(1,+∞);遞減區(qū)間為(-,1)…6分
(2)f(x)=x3-x2-2x+c x∈[-1,2],當(dāng)x=-時(shí),f(x)=+c為極大值,
而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值. ………… 8分
要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立,只須c2>f(2)=2+c,
解得c<-1或c>2. ………… 12分
21、(1)方程的兩個(gè)根為,,
當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,,所以;
當(dāng)時(shí),,,所以時(shí);
當(dāng)時(shí),,,所以. ………… 4分
(2)
. ………… 8分
(3)= ………… 12分
22、(1)依題意知,點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線為其相應(yīng)準(zhǔn)線,
離心率為的橢圓
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,
又,,∴點(diǎn)在x軸上,且,且則3
解之得:,,∴坐標(biāo)原點(diǎn)為橢圓的對(duì)稱中心
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為: ………… 4分
(2)設(shè),設(shè)直線的方程為,代入得
………… 5分
,
………… 6分
,,
,
解得: (舍) ∴ 直線EF在X軸上的截距為 …………8分
(3)設(shè),由知,
直線的斜率為 ………… 10分
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,
時(shí)取“=”)或時(shí)取“=”),
………… 12分
綜上所述 ………… 14分
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