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(16).(本小題滿分12分)
如圖,在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為、、c,
且8=7,,AB邊上的高CM長為.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求△ABC的面積
(17).(本小題滿分12分)
設數列的前項和為,且;數列為等差數列,且,.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)若,為數列的前項和. 求證:.
(18).(本小題滿分14分)
有10張形狀、大小相同的卡片,其中2張上寫著數字,另外5張上寫著數字1,余下3張上寫著數字2。從中隨機地取出1張,記下它的數字后放回原處。當這種手續(xù)重復進行2次時,為所記下的兩個數之和。
(Ⅰ)求=2時的概率; (Ⅱ)求的數學期望;
(19).(本小題滿分14分)
如圖,平面⊥平面,為正方形,,
且分別是線段的中點。
(Ⅰ)求證://平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成的角;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使得點到平面的距離為;
若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。
(20).(本小題滿分14分)
已知橢圓的離心率為,直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設橢圓的左焦點為,右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點,線段垂直平分線交于點,求點的軌跡的方程;
(Ⅲ)設 (Ⅱ) 中的與軸交于點,不同的兩點在上,且滿足求的取值范圍.
(21).(本小題滿分14分)
已知、b為函數的極值點
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)判斷函數上的單調性,并證明你的結論;
(Ⅲ)若曲線處的切線斜率為-4,且方程有兩個不等的實根,求實數的取值范圍.
參考答案
一.選擇題:每小題5分,滿分40分.
題
號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答 案 |
C |
D |
A |
B |
C |
A |
B |
D |
二.填空題:每小題5分,滿分30分.(其中13~15題只能選做二題)
(9) [9] (10) [0] (11) [] (12) ②③
(13) (14) [] (15) [6]
三.解答題:本大題共6小題,滿分80分.
(16).[解](Ⅰ) ∵,故設=7k,b=8k(k>0),由余弦定理可=(72+82 -2×7×8cos1200)k2=169k2,∴c=13k,因此……………………(6分)
(Ⅱ)∵∴
∴……………………………………………………(12分)
(17).[解](Ⅰ)由,令,則,又,所以.
,則.…………………………………2分
當時,由,可得.
即. ………3分
所以是以為首項,為公比的等比數列,于是.……………4分
(Ⅱ)數列為等差數列,公差,可得.…………6分
從而. ………………………7分
∴
∴. ……………10分
從而. ………………………12分
(17).[解](Ⅰ) 卡片的出法有(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共9種
而=2時,出現三種(0,2),(2,0),(1,1)
故………………………(7分)
(Ⅱ)同(Ⅰ)處理方法可求 ,,
,
因此,的數學期望……(14分)
(18).[解]法一:(Ⅰ)證明:取AB中點H,連結GH,HE,
∵E,F,G分別是線段PA、PD、CD的中點,
∴GH//AD//EF,
∴E,F,G,H四點共面。………………1分
又H為AB中點,
∴EH//PB?!?分
又面EFG,平面EFG,
∴PB//面EFG?!?分
(Ⅱ)取BC的中點M,連結GM、AM、EM,則GM//BD,
∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角?!?4分
在Rt△MAE中,,
同理,又,
∴在Rt△MGE中,……………………7分
故異面直線EG與BD所成的角為?!?分
(Ⅲ)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件。過點Q作QR⊥AB于R,連結RE,則QR//AD。
∵ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,
∴AD⊥AB,AD⊥PA,
又,
∴AD⊥平面PAB。
又∵E,F分別是PA,PD中點,
∴EF//AD,∴EF⊥平面PAB
又面EFQ,
∴面EFQ⊥平面PAB。
過A作AT⊥ER于T,則AT⊥面EFQ,
∴AT就是點A到平面EFQ的距離。……………………12分
設,則,,AE=1,
在Rt△EAR中, 解得。
故存在點Q,當時,點A到平面EFQ的距離為 ……14分
解法二:建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,
則,,,,
,,,。
(Ⅰ)∵,,,……………………1分
設,即 解得。
∴,又∵與不共線,∴、與共面?!?分
∵平面EFG,∴PB//平面EFG?!?分
(Ⅱ)∵,,……………………4分
∴。
故異面直線EG與BD所成的角為?!?分
(Ⅲ)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件。令,則,
∴點Q的坐標為,∴。
而,設平面EFQ的法向量為,則
∴。
令,則?!?0分
又,∴點A到平面EFQ的距離…………13分
即,∴或不合題意,舍去。
故存在點Q,當時,點A到平面EFQ的距離為………………14分
(19).[解](Ⅰ) ∵ ……1分
∵直線相切,
∴ …………2分
∴ …………3分
∵橢圓C1的方程是 ………………4分
(Ⅱ)∵MP=MF2,
∴動點M到定直線的距離等于它到定點F1(1,0)的距離,
∴動點M的軌跡是C為l1準線,F2為焦點的拋物線 ………………6分
∴點M的軌跡C2的方程為 …………7分
(Ⅲ)Q(0,0),設 …………8分
∴ …………9分
∵
∴
∵,化簡得
∴ ………………11分
∴
當且僅當 時等號成立 …………13分
∵
∴當的取值范圍是……14分
(20).[解](Ⅰ) 依題設方程的兩根分別為………2分,由題意可知: 即………3分
則
即……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ):
(Ⅲ)由,
的變化情況如下:
|
(-∞,-3) |
-3 |
|
|
-1 |
(-1,0) |
0 |
|
- |
0 |
+ |
+ |
0 |
- |
|
|
|
極小值 |
|
|
極大值 -1 |
|
|
|
………………14分