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19.(本小題滿分13分)
為迎接2008年奧運會召開,某工藝品加工廠準備生產(chǎn)具有收藏價值的奧運會標志--“中國印.舞動的北京”和奧運會吉祥物--“福娃”.該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬,已知生產(chǎn)一套奧運會標志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒,生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒.若奧運會標志每套可獲利700元,奧運會吉祥物每套可獲利1200元,該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒.問該廠生產(chǎn)奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大,最大利潤為多少?
數(shù)學(理科)參考答案及評分說明
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則.
二、對計算題當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半;如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.
三、解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).
四、只給整數(shù)分數(shù),選擇題和填空題不給中間分數(shù).
一.選擇題:CDCD BBCD
解析:1. ∵∴=,選C.
2.在展開式中,,故選D.
3.由可排除A,D,令可得可知C可能成立。
4. 9年后的價格大約是元,選C.
5.由該表提供的信息知,該模擬函數(shù)在應為增函數(shù),故排除D,將、4…代入選項A、B、C易得B最接近,故答案應選B. []
6. 由已知得,,,選D。
7.由定義知⑴、⑶恒成立,⑵⑷不恒成立,正確答案C.
8.已知直線過半圓上一點(-2,0),當時,
直線與x軸重合,這時m=0,故可排除A,C,若m=1,如圖可求得當,故選D.
二.填空題:9. ;10. (0,1)、2;11. ;12.2.2、;13.;14. 10; 15. .
解析:9. 由定積分的幾何意義得,所求面積.
10.由點P(2,1)在圓上得,由點P關于直線的對稱點也在圓C上知直線過圓心,
即滿足方程,∴,圓心坐標為(0,1),半徑2。
11. 由得…
12. 由統(tǒng)計圖知該文學社學生參加活動的人均次數(shù)為
從中任意選兩名學生,他們參加活動次數(shù)不同的概率是.
13. 即,
14. 根據(jù)柯西不等式,得
15.由正弦定理得即,∴所求直線的極坐標方程為.
三.解答題:
16.解:∵=-----------------2分
(1)由得即
∵ ∴或
∴或 -------------------------------------------------4分
(2)∵
=[]
----------------------------------8分
由得
∴的單調(diào)增區(qū)間.---------------------------------10分
由上可得,當時,由得
, ∴-------------12分
17.解:(1)∵ ∴----------1分
∵
∴當時,方程有一個零點;
當時,方程有兩個零點;------3分
(2)將不等式化為 -----5
當 ------6分
當 ----7分
當 ---------8分
求解過程的程序框圖如右圖:
注:完整畫出框圖給4分,(3)、(4)缺一且其它完整給2分,其它畫法請參照給分。
18.(1)解:由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,
側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2. ---------------------------------2分
∴----------------------------4分[]
(2) 不論點E在何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------5分
證明如下:連結AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------7分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不論點E在何位置,都有AE平面PAC
∴不論點E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------9分
(3) 解法1:在平面DAE內(nèi)過點D作DG⊥AE于G,連結BG
∵CD=CB,EC=EC, ∴≌
∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴為二面角D-EA-B的平面角--------------------------12分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中==BG
在△DGB中,由余弦定理得
∴=-----------------------14分
[解法2:以點C為坐標原點,CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示:
則,從而--------------11分
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為
由法向量的性質(zhì)可得:,
令,則,∴------13分
設二面角D-AE-B的平面角為,則[]
∴--------------------------------------------------------14分]
19.解:設該廠每月生產(chǎn)奧運會標志和奧運會吉祥物分別為套,月利潤為元,由題意得
() -----------------------4分
目標函數(shù)為…………5分
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即
可行域,如圖: …………7分
目標函數(shù)可變形為,
∴當通過圖中的點A時,最大,這時Z最大。
解得點A的坐標為(20,24), …………10分
將點代入得元
答:該廠生產(chǎn)奧運會標志和奧運會吉祥物分別為20,24套時月利潤最大,最大利潤為42800元----12分
20.(1)證明:由 得
將代入消去得
?、?………………………… 3分
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點得
整理得,即 ………5分
(2)解:設由①,得
∵而點, ∴
得代入上式,得 ……………8分
于是,△OAB的面積 --------11分
其中,上式取等號的條件是即 ……………………12分[]
由可得
將及這兩組值分別代入①,均可解出
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是………………14分
21.解(1)∵不等式≤0的解集有且只有一個元素
∴ 解得或----------------------------2分
當時函數(shù)在遞增,不滿足條件②
當時函數(shù)在(0,2)上遞減,滿足條件②
綜上得,即------------------------------4分
(2)由(1)知
當時,
當≥2時==
∴-------------------------------------------6分
由題設可得---------------------------------------7分
∵,,∴,都滿足
∵當≥3時,
即當≥3時,數(shù)列{}遞增,[]
∵,由,可知滿足
∴數(shù)列{}的變號數(shù)為3。--------------------------------------9分
(3)∵=, 由(2)可得:
--------------11分
==-------13分
∵當時數(shù)列{}遞增,∴當時,最小, 又∵,
∴數(shù)列{}存在最小項-----------------------------14分
(或∵=,由(2)可得:
--------------11分
=
對于函數(shù) ∵[]
∴函數(shù)在上為增函數(shù),∴當時數(shù)列{}遞增,
∴當時,最小,--------13分
又∵, ∴數(shù)列{}存在最小項-------------------14分)