2007年高考數(shù)學(xué)解讀
（一）命題指導(dǎo)思想
1.命題應(yīng)依據(jù)教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》和《2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科考試大綱》（待發(fā)），并結(jié)合我省普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)和特點(diǎn)。
2.命題注重考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等目標(biāo)要求。
3.命題既要實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡，又要體現(xiàn)新課程理念。
4.注重試題的創(chuàng)新性、多樣性和選擇性，具有一定的探究性和開放性。
5.命題要堅持公正、公平原則。試題要切合我省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，數(shù)學(xué)問題的難度、問題的情景等要符合考生的實(shí)際水平。應(yīng)用題要“貼近生活，背景公平，控制難度”。
6.命題要注意必修內(nèi)容和選修內(nèi)容的有機(jī)聯(lián)系與適當(dāng)差異，注重數(shù)學(xué)學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系。
7.試卷要有較高的信度、效度和必要的區(qū)分度以及適當(dāng)?shù)碾y度，難度系數(shù)控制在0.55―0.65之內(nèi)。
（二）知識和能力要求
1．知識要求
對知識的要求由低到高分為三個層次，依次是感知和了解、理解和掌握、靈活和綜合運(yùn)用，且高一級的層次要求包括低一級的層次要求。
(1)感知和了解：要求對所學(xué)知識的含義有初步的了解和感性的認(rèn)識，知道這一知識內(nèi)容是什么，并能在有關(guān)的問題中識別、模仿、描述它。
(2)理解和掌握：要求對所學(xué)知識內(nèi)容有較為深刻的理論認(rèn)識，能夠準(zhǔn)確地刻畫或解釋、舉例說明、簡單變形、推導(dǎo)或證明、抽象歸納，并能利用相關(guān)知識解決有關(guān)問題。
(3)靈活和綜合運(yùn)用：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，能靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決較為復(fù)雜的或綜合性的數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)問題。
2．能力要求
能力主要指運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力以及實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識。
(1)運(yùn)算求解能力：會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形；能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計合理、簡捷的運(yùn)算途徑。
(2)數(shù)據(jù)處理能力：會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能抽取對研究問題有用的信息，并作出正確的判斷；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算。
(3)空間想象能力：會畫簡單的幾何圖形；能準(zhǔn)確地分析圖形中有關(guān)量的相互關(guān)系；會運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)。
(4)抽象概括能力：能從具體、生動的實(shí)例中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；能從給定的大量信息材料中，概括出一些結(jié)論，并能應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷。
(5)推理論證能力：會根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性。
(6)實(shí)踐能力：能夠?qū)栴}所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表述、說明。
(7)創(chuàng)新意識：能夠獨(dú)立思考，靈活和綜合地運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)的知識、思想和方法，提出問題、分析問題和解決問題。
（三）考試范圍及要求
1.考試范圍
（1）文科
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中的必修課程內(nèi)容和選修系列1內(nèi)容。
數(shù)學(xué)1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）。
數(shù)學(xué)2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
數(shù)學(xué)3：算法初步、統(tǒng)計、概率。
數(shù)學(xué)4：基本初等函數(shù)II（三角函數(shù)）、平面上的向量、三角恒等變換。
數(shù)學(xué)5：解三角形、數(shù)列、不等式。
選修1－1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。
選修1－2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)的引入、框圖。
（2）理科
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中的必修課程內(nèi)容和選修系列2內(nèi)容。
數(shù)學(xué)1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）。
數(shù)學(xué)2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
數(shù)學(xué)3：算法初步、統(tǒng)計、概率。
數(shù)學(xué)4：基本初等函數(shù)II（三角函數(shù)）、平面上的向量、三角恒等變換。
數(shù)學(xué)5：解三角形、數(shù)列、不等式。
選修2－1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量（簡稱空間向量）與立體幾何。
選修2－2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入。
選修2－3：計數(shù)原理、統(tǒng)計案例、概率。
2.具體考試內(nèi)容及其要求（略）
（四）考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
1.考試形式
考試采用閉卷、筆試形式。試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘�？荚嚥辉试S使用計算器。
2.試卷結(jié)構(gòu)
試卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。試題分選擇題、填空題和解答題三種題型。
第Ⅰ卷以單項(xiàng)選擇題題型呈現(xiàn)，主要考查必修內(nèi)容中的基本知識和基本技能，共12題，分值為60分。
第Ⅱ卷以填空題和解答題題型出現(xiàn)，主要考查數(shù)學(xué)的思想、方法和能力，必修內(nèi)容和選修內(nèi)容都在考查之列。填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計算過程或推證過程，填空題共4題，分值為16分。解答題包括計算題、證明題和應(yīng)用題等，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程，解答題共6題，分值為74分。
試卷包括容易題、中等難度題和難題，以中等難度題為主。
（五）題型示例
1.選擇題
（1）設(shè)
、
為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合
，則
中元素的個數(shù)是
A．9 B．8 C．7 D．6
本小題主要考查集合概念的理解，以及對知識的遷移能力，對基本知識的掌握要準(zhǔn)確、牢固.
解答：B
（2）某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況：
（3）已知向量
，向量
,則
的最大值是
A．
B．4
C．12
D．1
本小題主要考查向量與三角結(jié)合的基本運(yùn)算，考察運(yùn)算能力。試題給出兩個向量的坐標(biāo)，要求考生會利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)的恒等變換，用多種方法確定向量的模的最大值.考察的重點(diǎn)是學(xué)生對向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的模的性質(zhì)的理解與應(yīng)用，方法較多，考查較靈活.
解法1：
∵
,
，
解法2： ∵
∴
∴
，
∴
.
4.在
這四個函數(shù)中，當(dāng)
時，使
恒成立的函數(shù)的個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
本小題主要考查函數(shù)的凹凸性，試題給出了四個基本初等函數(shù)，要求考生根據(jù)函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)---凹凸性，對試題中的不等關(guān)系式：
，既可以利用函數(shù)的圖像直觀的認(rèn)識，也可以通過代數(shù)式的不等關(guān)系來理解�？疾榈闹攸c(diǎn)是結(jié)合函數(shù)的圖像準(zhǔn)確理解凹凸的含義.
解答：B
2.填空題
（1）已知實(shí)數(shù)
滿足等式
，寫出
滿足條件的一個關(guān)系式 .(注:填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可,不必考慮所有可能的情形)
本小題主要考查指數(shù)式、指對互化以及分類討論數(shù)學(xué)思想方法.此題是一個開放性問題，該類問題有助于考察學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造意識.
解答：①
②
③
,等.
（2）求滿足
的最大整數(shù)解的程序框圖A處應(yīng)為
.
 |
本小題主要考查程序框圖的知識和分析問題、解決問題的邏輯思維能力，試題給出了滿足題目條件的框圖，在給定框圖結(jié)構(gòu)的前提條件下，要求考生會讀框圖、理解框圖，并根據(jù)流程，寫出最后輸出框中的內(nèi)容.考查的重點(diǎn)是學(xué)生對程序框圖的認(rèn)識，利用框圖流程，不難寫出最后的輸出結(jié)果.該題所涉及內(nèi)容為新課程新增內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程與時俱進(jìn)，反映了計算機(jī)科學(xué)發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的影響，關(guān)注此類問題既考察學(xué)生對算法思想的了解和掌握，同時還有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)技術(shù)的興趣.
解答：
（3）已知兩個圓：
①與
②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓
和
的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 .
本小題主要考查圓的方程、圓的公共弦方程的概念，考查抽象思維能力和歸納推廣的能力.
解答：
（4）已知
是不同的直線，
是不重合的平面，給出下列命題：
①若
則
;
②若
則
;
③若
，則;
④
是兩條異面直線，若
，則
.
上面的命題中，真命題的序號是
（寫出所有真命題的序號）.
本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查邏輯推理和空間想象能力.
解答：③④
3.解答題
（1）已知函數(shù)
，證明：
①經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行與
軸；②這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線
成軸對稱圖形.
本小題主要考查函數(shù)圖象的性質(zhì)、平行直線和對稱圖形以及推理論證能力.
證明：①設(shè)
是函數(shù)圖象上任意不同的兩個點(diǎn)，則
，且
.
即
，所以直線
不平行于
軸.
②設(shè)
是函數(shù)圖象上的任意一個點(diǎn),則
,
且
.
…………（＊）
所以,
,否則有
,得
,這是不可能的.因此
;由（＊）式得:
此式表示:點(diǎn)
關(guān)于直線
的對稱點(diǎn)
在函數(shù)圖象上,由于
的任意性,知函數(shù)的圖象關(guān)于直線
成軸對稱圖形.
（2）有一批影碟機(jī)（VCD）原價為每臺800元，在甲乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下的方法促銷:買一臺單價為780元,買兩臺每臺單價都為760元,依次類推,每多一臺則所買各臺單價均再減少20元,但每臺最低不能低于440元;乙商場一律都按原價的75%銷售.某單位需購買一批此類影碟機(jī),問去哪家商場購買花費(fèi)較少?
本小題是實(shí)際問題，考查的目標(biāo)是要求考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識作出分析，給出合理的判斷，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，本題的實(shí)際背景是商品銷售問題，對考生比較公平，與生活相關(guān)性也比較高.本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)和不等式.
解:設(shè)某單位需要購買
臺影碟機(jī),甲乙兩商場的購貨款的差價為
,
則因?yàn)槿ゼ咨虉鲑徺I共花費(fèi)
,據(jù)題意,
去乙商場購買共花費(fèi)
,
.
得
故若買少于10臺,去乙商場購買花費(fèi)較少; 若買10臺,去甲、乙商場購買花費(fèi)一樣；若買超過10臺,去甲商場購買花費(fèi)較少.
（3）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％.如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？
（糧食單產(chǎn)＝總產(chǎn)量/耕地面積，人均糧食占有量＝總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù)）
本小題的背景是人口增長和耕地流失的控制問題，這是當(dāng)前國情教育中的一個十分突出的問題.通過解決此類問題有助于增強(qiáng)學(xué)生的社會責(zé)任感和土地保護(hù)意識。該題考查的是數(shù)列知識，還把利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計算的考查揉合其中，比較新穎.
解：設(shè)耕地平均每年至多減少
公頃，現(xiàn)有人口
人，糧食單產(chǎn)
噸/公頃，依題意得：
得
所以
答：耕地平均每年至多減少4公頃.
（4）如圖，在底面是菱形的四棱錐
中，
，
，
,點(diǎn)
在
上，且
.
（I）證明
平面
；
（II）求以
為棱，
與
為面的二面角
的大�。�
（Ⅲ）在棱
上是否存在一點(diǎn)
，使
平面
？證明你的結(jié)論.
本小題主要考查了棱錐、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，二面角及二面角的平面角、直線與平面平行的判定和性質(zhì)，同時考查了利用空間向量解決立體幾何問題的轉(zhuǎn)換能力、一定的計算能力以及邏輯推理能力.
第3問在設(shè)問上有一定開放性，這對空間觀念的要求，對空間圖形轉(zhuǎn)換要求，在水平層次上就有較大的提高，切入點(diǎn)是從特殊點(diǎn)開始進(jìn)行探究.
此題可用空間向量法解決，關(guān)鍵是能合理的構(gòu)建空間坐標(biāo)系.
總之，本題在解決方法上利用向量手段解決幾何問題，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。同時，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用為考生創(chuàng)造了幾何證明的新思路，體現(xiàn)了解決問題策略的多樣化。另外，本題通過開放性問題的設(shè)計，給學(xué)生留出了較大的思維空間，為學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題建立了一個平臺.
|
， 
中，由
知
.
，所以
交
于
，
平面
于
，連結(jié)
，
，
即為二面角
知
的中點(diǎn).
、
，設(shè)
，
為
. ②
平面
平面
，所以
平面
為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線
分別為
軸、
軸，過
的直線為
軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
又
于
的發(fā)向量為
得
又平面
則
令 
得
即 
時，
、
、
共面.
平面
，從而
的方程為
，
的的點(diǎn)
的軌跡方程
；
作弦
，當(dāng)弦
平分時，求直線
的左、右焦點(diǎn)分別為
與雙曲線
，且
（其中
的取值范圍.
,由橢圓的方程可知
的坐標(biāo)分別為（-
，
）、（
,直線
的斜率為-1，
,
，則
再由
得
.
與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
① 設(shè)
，則
②
的取值范圍為