2008年福州市高三第二次質(zhì)檢

數(shù)學(xué)(理科)試卷

 

(考試時(shí)間：120分鐘；滿分150分)

 

注意事項(xiàng)：

1.本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級、學(xué)號、姓名；

2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）．

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.

球的表面積公式,其中R表示球的半徑.

球的表體積公式,其中R表示球的半徑.

第Ⅰ卷 （選擇題  共60分）

一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的）

1．若為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)有可能等于（　�。�.

A．     B．       C．        D．

2．已知集合，，則（    ）.

A．           　B．           　C．            　D．

3.  函數(shù)的反函數(shù)是（　�。�.

A．                B．

C．                D．

4. 直角坐標(biāo)系中，，若三角形是直角三角形，則的可能值的個數(shù)是（　�。�

    Ａ．1             Ｂ．2             Ｃ．3             Ｄ．4

 

5. 不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（   ）

 

 

 

          A                                 B                         C                              D

6. 已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列滿足: ,,則使其前

n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是（　�。�.

    A. 4017        B.4014       C. 4016          D.4018

7. 已知a,b,c為三條不同的直線，且a平面M，b平面N，M∩N =c ．①若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；②若a//b，則必有a//c；③若a⊥b，a⊥c則必有M⊥N以上的命題中正確的是（    ）

    A．①             B．②             C．③             D．②③

8. 如果把圓C:x2+y2=1沿向量a=(1,m)平移到,且與直線3x-4y=0相切,則m的值為（    ）

A.2或-      B.2或        C.-2或        D.-2或-

9. 某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個奧運(yùn)宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有           

A．120種        B．48種           C．36種           D．18種

10．已知函數(shù)在區(qū)間上至少取得2次最大值，則正整數(shù)的最小值是（    ）

    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    82615980
    11. 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上一定（    ）
    A.有最小值        B.有最大值      
C.是減函數(shù)       D.是增函數(shù)
    12. 在平面直角坐標(biāo)系中，，映射將平面上的點(diǎn)對應(yīng)到另一個平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)沿著折線運(yùn)動時(shí)，在映射的作用下，動點(diǎn)的軌跡是（    ）
               
    A.         
       B.                  C.               D.
     
    第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
    二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題后的橫線上．）
    13. 在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域面積是      ． 
    

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    14. 已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為，各項(xiàng)系數(shù)和為，則        ． 
    

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    15. 一個四面體的所有棱長都為，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為     ．
    

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    16. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為        ．                      

     
     
    

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    三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程）
    17．（本小題滿分12分）
    

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    已知函數(shù)=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=，f()=.
    

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    （Ⅰ）求的解析式；
    

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    （Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
    

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    （Ⅲ）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可使其對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？
     
    

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    18．（本小題滿分12分）
    

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    三個人進(jìn)行某項(xiàng)射擊活動，在一次射擊中甲、乙、丙三人射中目標(biāo)的概率分別為、、.
    （Ⅰ）一次射擊后，三人都射中目標(biāo)的概率是多少？
    

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    （Ⅱ）用隨機(jī)變量表示三個人在一次射擊后射中目標(biāo)的次數(shù)與沒有射中目標(biāo)的次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
     
     
     
    

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    19．（本小題滿分12分）
    如圖，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).
    

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        （Ⅰ）求與平面A1C1CA所成角的大小；
        （Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大��；
        （Ⅲ）試在線段AC上確定一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD.
     
     
    

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    20．（本小題滿分12分）
    

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    數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足關(guān)系： .
    

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    (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式：
    

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    (Ⅱ)設(shè)計(jì)算.
     
    

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    21．（本小題滿分12分）
    

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    已知點(diǎn)A（－2,0），B（2,0），動點(diǎn)P滿足：∠APB=2,且|PA||PB|sin2θ=2，
    （Ⅰ）求證：動點(diǎn)P的軌跡Q是雙曲線；
    

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    （Ⅱ）過點(diǎn)B的直線與軌跡Q交于兩點(diǎn)M，N.試問軸上是否存在定點(diǎn)C，使為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
     
    

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    22．（本小題滿分14分）
    

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    已知函數(shù)
    

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       （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；
    

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       （Ⅱ）當(dāng)（其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)）；
    

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       （Ⅲ）若
     
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    一.選擇題   1-5   6-10   11-12     BBDBC  CBACC  DA
     
    二．填空題   13. 1 ;   14. 2;    15. ;   16.  -1
     
    三、解答題
    17.解：（Ⅰ）由f(0)=，得2a-=，∴2a=，則a=.
    由f()=，得+-=，∴b=1，…………2分
    ∴f(x) =cos2x+sinxcosx -=cos2x+sin2x=sin(2x+).…………4分
    （Ⅱ）由f(x)=sin(2x+).
    又由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，
    ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是［+kπ，+kπ］(k∈Z)．?…………8分
    （Ⅲ）∵f(x)=sin2(x+)，
    ∴函數(shù)f(x)的圖象右移后對應(yīng)的函數(shù)可成為奇函數(shù)．…………12分
     
    18．解：（I）一次射擊后，三人射中目標(biāo)分別記為事件A1，A2，A3，
    由題意知A1，A2，A3互相獨(dú)立，且,…………2分
    .…………4分
    ∴一次射擊后，三人都射中目標(biāo)的概率是.…………5分
    （Ⅱ）證明：一次射擊后，射中目標(biāo)的次數(shù)可能取值為0、1、2、3，相應(yīng)的沒有射中目標(biāo)的的次數(shù)可能取值為3、2、1、0，所以可能取值為1、3, …………6分
    則）+
     ………8分
    ∴，………10分
    ∴＝.………12分
    19．解：（Ⅰ）連接A1C.∵A1B1C1－ABC為直三棱柱，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC.
        ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分
        ∴為與平面A1C1CA所成角，
    .
    ∴與平面A1C1CA所成角為.…………3分
    （Ⅱ）分別延長AC，A1D交于G. 過C作CM⊥A1G
于M，連結(jié)BM，
        ∵BC⊥平面ACC­1A1，∴CM為BM在平面A1C1CA內(nèi)的射影，
        ∴BM⊥A1G，∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角，………………………5分
        平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D為C1C的中點(diǎn)，
        ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，.……7分
        即二面角B―A1D―A的大小為.……………………8分
    （Ⅲ）取線段AC的中點(diǎn)F，則EF⊥平面A1BD.……………9分
    證明如下：
    ∵A1B1C1―ABC為直三棱柱，∴B1C1//BC，
    ∵由（Ⅰ）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA，……………10分
    ∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F，當(dāng)F為AC的中點(diǎn)時(shí)，
    C1F⊥A1D，∴EF⊥A1D.
    同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.……………………12分
    文本框:  解法二：
    （Ⅰ）同解法一……………………3分
    （Ⅱ）∵A1B1C1―ABC為直三棱柱，C1C=CB=CA=2，
    AC⊥CB，D、E分別為C1C、B1C1的中點(diǎn).
    建立如圖所示的坐標(biāo)系得：
    C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
    C1（0，0，2）， B1（2，0，2）， A­1（0，2，2），
    D（0，0，1）， E（1，0，2）.………………6分
    ，設(shè)平面A1BD的法向量為，
      .…………6分
    平面ACC1A1­的法向量為=（1，0，0），.………7分
    即二面角B―A1D―A的大小為.…………………8分
    （Ⅲ）F為AC上的點(diǎn)，故可設(shè)其坐標(biāo)為（0，，0），∴.
    由（Ⅱ）知是平面A1BD的一個法向量，
    欲使EF⊥平面A1BD，當(dāng)且僅當(dāng)//.……10分
    ∴，∴當(dāng)F為AC的中點(diǎn)時(shí)，EF⊥平面A1BD.…………………12分 
     
    20．解：(Ⅰ) 據(jù)題意： ，
    .
      
兩式相減,有：，…………3分
     .…………4分
    又由=解得. …………5分
    ∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.…………6分
     (Ⅱ) 
     ………8分
    …………12分
     
    21．解: （Ⅰ）依題意，由余弦定理得：
    , ……2分
    即
    　　
    .
    ,即.　　…………4分
    （當(dāng)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)共線時(shí)也符合上述結(jié)論）
    動點(diǎn)的軌跡Q是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長為的雙曲線．其方程為.………6分
    (Ⅱ)假設(shè)存在定點(diǎn),使為常數(shù)．
    （1）當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，
    設(shè)直線的方程為,代入整理得:
    ．…………7分
    由題意知，．
    設(shè),,則,．…………8分
    于是，   …………9分
    ．…………10分
    要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)．…11分
    （2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn),，
    當(dāng)時(shí)，．    
    故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).…………12分
     
    22．解：（Ⅰ）………1分
            
            同理，令
            ∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.……………………3分
            由此可知…………………………………………4分
       （Ⅱ）由（I）可知當(dāng)時(shí)，有，
            即.
        .……………………………………………………………………7分
     
（Ⅲ）
設(shè)函數(shù)…………………………………10分
            
            ∴函數(shù)）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
            ∴的最小值為，即總有
            而
            
            即
            令則
            
            ……………………………………14分
     
    
				
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊答案