東中分校2009屆高三上學(xué)期期末考試試題    2009-1-4

數(shù)學(xué)(文科)

 

一、選擇題(選擇唯一正確答案,本大題共10小題,每小題5分，滿分50分．)

1.集合，集合，則是（    ）

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.        .         .        .

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2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (    )

A．第一象限            B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限

 

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3.已知，且，則等于（    ）

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.             .            .           .

 

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4.如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為（    ）

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 .           .           .             .

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5．定義運(yùn)算                        ，則函數(shù)的圖象是（    ）

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A                  B                 C                D

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6.若一個(gè)幾何體的三視圖都是直角邊為6的全等的等腰直角三                         角形（如圖）， 則這個(gè)幾何體的體積等于（    ）

 

A. 18                    B . 32        

 

  C . 36                   D. 72

 

 

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7.已知α、β是兩個(gè)不同平面，m、n是兩條不同直線，則下列命題不正確的是(   )

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    A．則            B．m∥n，m⊥α，則n⊥α

 

C．n∥α，n⊥β，則α⊥β           D．m∥β，m⊥n，則n⊥β

 

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8.設(shè)函數(shù)f(x) (x∈R)為奇函數(shù)，f(1)=，f(x+2)=f(x)+f(2)，則f(－5)=      (   )

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A．0               B．             C．－           D．5

 

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9.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，則（   ）

A.－2               B.0                  C.1                 D.2

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10. 已知曲線，點(diǎn)及點(diǎn)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被曲線

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擋住，則實(shí)數(shù)的取值范圍是                                             (    )

A．（4，＋∞）       B.（－∞，4）       C.（10，＋∞）      D.（－∞，10）

 

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二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．

11.已知向量               ，向量，若∥，則       .

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12．圖中所示的S的表達(dá)式為                      .

 

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13. 如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與

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塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與．測(cè)得

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米，并在

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點(diǎn) 測(cè)得塔頂的仰角為,  則BC=       米,

塔高AB=       米。   

 

 

 

 

 

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14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）極坐標(biāo)系下，直線

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 與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是_______．

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15．（幾何證明選講選做題）如圖所示， AB是半徑等于3

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的的直徑，CD是的弦，BA，DC的延長(zhǎng)線交于

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點(diǎn)P，若PA=4，PC=5，則 ________．

 

 

 

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三．解答題：(本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出證明過(guò)程和演算步驟．)

16．（本題12分）

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已知。

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記，并且的最小正周期為.

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（1）求的值；

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（2）若             ， 且，求的值.

 

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17．（本題12分）

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已知函數(shù)，

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（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，函數(shù)

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 在處取得極值，求函數(shù)的解析式，并確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

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（2）若，且函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍．

 

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18.（本題14分）

為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，共有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽. 為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 請(qǐng)你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問(wèn)題：

分組

頻數(shù)

頻率

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50.5~60.5

4

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0.08

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60.5~70.5

 

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0.16

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70.5~80.5

10

 

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80.5~90.5

16

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0.32

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90.5~100.5

 

 

合計(jì)

50

 

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（Ⅰ）填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；

（Ⅱ）補(bǔ)全頻數(shù)條形圖；

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（Ⅲ）若成績(jī)?cè)?5.5~85.5分的學(xué)生為二等獎(jiǎng)，問(wèn)獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人？

 

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19．（本題14分）

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已知四棱錐（如圖）底面是邊長(zhǎng)為2的正方形.側(cè)棱底面，、分別為 


   

    
    

    


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   （Ⅰ）求證：平面⊥平面；


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   （Ⅱ）直線與平面所成角的正弦值為，求PA的長(zhǎng)；


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   （Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求二面角的余弦值。
 


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20．（本題14分）                         



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動(dòng)圓P與定圓均外切，設(shè)P點(diǎn)的軌跡為C.
（1）求C的方程；


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（2）過(guò)點(diǎn)A（3，0）作直線l交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若


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當(dāng)的取值范圍.
 


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21．（本題14分）


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設(shè)函數(shù).若方程的根為和,且.


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(1) 求函數(shù)的解析式;


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(2) 已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿足:為該數(shù)列的前項(xiàng)和),求該數(shù)列的通項(xiàng);


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(3) 如果數(shù)列滿足.求證:當(dāng)時(shí),恒有成立.
 
 
 
 


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一、選擇題（8小題，每題5分，共40分）
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
A
C
D
B
A
D
二、填空題（6小題，每題5分，共30分）
            

11． 5 ；    12．       13．15
； 15         14。2；   15． 
三、解答題（6小題，共80分）
16．解：（1）




 

  
 

 

  
  
 




 
----------------5分
 
    因?yàn)樽钚≌芷跒?sub>，∴        ，∴；----------6分
 
（2）由（1）知                  
，
 
因?yàn)?sub>，∴-------------------8分
因?yàn)?img  src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/667d7a5cb647f84a4c5d5bbfc63676df.zip/65334/東中分校2009屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文科試題.files/image239.gif" >            
，∴                 
 
 
所以或----------------10分
     所以        
或       .------------------12分
 
17．解：（1）已知函數(shù)，       ------2分    
又函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且函數(shù)在處取得極值，，且，解得 
，且   --------------5分      
令，        

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為  -----------------8分           

（2）當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上是減函數(shù)
在上恒成立，   --------------10分 

即在上恒成立。----------------12分
 
18．解：(1) 
分組
頻數(shù)
頻率
50.5~60.5
4
0.08
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
10
0.20
80.5~90.5
16
0.32
90.5~100.5
12
0.24
合計(jì)
50
1.00
 
 
 
---------------------4分
(2) 頻數(shù)直方圖如右上所示--------------------------------8分
(3) 成績(jī)?cè)?5.5~80.5分的學(xué)生占70.5~80.5分的學(xué)生的，因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.2 ，所以成績(jī)?cè)?6.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.1 ，---------10分
成績(jī)?cè)?0.5~85.5分的學(xué)生占80.5~90.5分的學(xué)生的，因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0.5~90.5分的學(xué)生頻率為0.32 ，所以成績(jī)?cè)?0.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.16 
-------------12分
所以成績(jī)?cè)?6.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.26，
由于有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽，
所以該校獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為0.26´900=234（人）    -------------14分
19．解（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD
∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD  ………………3分
MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分
（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A   ∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC為直線PC與平面PBA所成的角 
即…………7分
在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=



∴  ………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN
∴∠PMQ即為二面角P―MN―Q的平面角  …………12分
而     
∴   …………14分
20．（14分）
解（1），動(dòng)圓的半徑為r，則|PQ1|=r+3，
|PQ2|= r+1，|PQ1|－|PQ2|=2，…………………3分
點(diǎn)P的軌跡是以O1、O2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，a=1，c=2，
方程為………………………………………………6分
   （2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)k不存在時(shí)，不合題意.
       直線PQ的方程為y=k（x－3），
則
       ………………8分
       由
       、
       …………………………………………………………10分
       …………14分
 
 
 
 
 
 
21.  (1)設(shè)----------------3
,又
---------------------------------5
(2)由已知得
兩式相減得,-------------------------7
當(dāng).若
-------------------------------9分
(3) 由,
.-----------------------------------11分
若
------------------------------13
可知,-------------------------------14. 分
 
 

				
	

		



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