即當時不等式成立． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知基本不等式：≥(a、b都是正實數(shù)，當且僅當a＝b時等號成立)可以推廣到n個正實數(shù)的情況，即對于n個正實數(shù)a1，a2，a3，…，an，有≥(當且僅當a1＝a2＝a3＝…＝an時，取等號)．

同理，當a、b都是正實數(shù)時，(a＋b)(＋)≥2ab·2·＝4，可以推導出結論：對于n個正實數(shù)a1，a2，a3，…，an有(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥________；(a1＋a2＋a3＋a4)(＋＋＋)≥________；(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…)≥________；

如果對于n個同號實數(shù)a1，a2，a3，…，an(同正或者同負)，那么，根據(jù)上述結論，(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…)的取值范圍是________．

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 已知命題及其證明：

（1）當時，左邊＝1，右邊＝所以等式成立；

（2）假設時等式成立，即成立，

則當時，，所以時等式也成立。

由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)n等式都成立。      

經判斷以上評述

A．命題、推理都正確　　　　　　B命題不正確、推理正確　

C．命題正確、推理不正確　　　　  D命題、推理都不正確

 

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已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）設，若對任意，，不等式 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（1,3）；單調遞減區(qū)間是

第二問中，若對任意不等式恒成立，問題等價于只需研究最值即可。

解： （I）的定義域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（1,3）；單調遞減區(qū)間是     ．．．．．．．．4分

（II）若對任意不等式恒成立，

問題等價于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點，這個極小值是唯一的極值點，

故也是最小值點，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

當b<1時，；

當時，；

當b>2時，；             ．．．．．．．．．．．．8分

問題等價于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以實數(shù)b的取值范圍是 

 

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設向量
α
=（a，b），
β
=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式|
α
•
β
|≤|
α
|•|
β
|恒成立，可以證明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（當且僅當
α
∥
β
，即an=bm時等號成立），己知x，y∈R+，若
x
+3
y
＜k•
x+y
恒成立，利用柯西不等式可求得實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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對于不等式某同學應用數(shù)學歸納法證明的過程如下：
（1）當時，，不等式成立
（2）假設時，不等式成立，即
那么時，

不等式成立根據(jù)（1）（2）可知，對于一切正整數(shù)不等式都成立。上述證明方法（    ）
A．過程全部正確B．驗證不正確
C．歸納假設不正確D．從到的推理不正確

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