某電視臺(tái)舉辦的技能比賽節(jié)目中，每位參賽選手需參加兩場比賽，兩場比賽都勝出獲得10萬現(xiàn)金；若只勝一場，則獎(jiǎng)勵(lì)5萬；兩場都失利則無獎(jiǎng)金．設(shè)甲選手每場比賽勝利的概率都為

1

2

且兩場比賽之間相互獨(dú)立，用ξ表示甲選手比賽結(jié)束后的獎(jiǎng)金總額．
（I）求比賽結(jié)束后甲選手只勝一場的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

某校選派4人參加上級(jí)組織的數(shù)學(xué)競賽，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)競賽班各選派2人．設(shè)甲、乙兩班選派的人員獲獎(jiǎng)概率分別為

2

3

和

1

2

，且4位選手是否獲獎(jiǎng)互不影響．
（I）求甲、乙兩班各有1人獲獎(jiǎng)的概率；
（II）求該校獲獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列與期望．

某校選派4人參加上級(jí)組織的數(shù)學(xué)競賽，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)競賽班各選派2人．設(shè)甲、乙兩班選派的人員獲獎(jiǎng)概率分別為

2

3

和

1

2

，且4位選手是否獲獎(jiǎng)互不影響．
（I）求甲、乙兩班各有1人獲獎(jiǎng)的概率；
（II）求該校獲獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列與期望．

某電子科技公司遇到一個(gè)技術(shù)性難題，決定成立甲、乙兩個(gè)攻關(guān)小組，按要求各自獨(dú)立進(jìn)行為期一個(gè)月的技術(shù)攻關(guān)，同時(shí)決定對攻關(guān)限期內(nèi)攻克技術(shù)難題的小組給予獎(jiǎng)勵(lì)．已知此技術(shù)難題在攻關(guān)期限內(nèi)被甲小組攻克的概率為

2

3

，被乙小組攻克的概率為

3

4

．
（1）設(shè)ξ為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）設(shè)η為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)與沒有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)之差的平方，記“函數(shù)f(x)=|η-

1

2

|x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”為事件C，求事件C發(fā)生的概率．