題目列表(包括答案和解析)
已知曲線(xiàn)C:(m∈R)
(1) 若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓,求m的取值范圍;
(2) 設(shè)m=4,曲線(xiàn)c與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線(xiàn)y=kx+4與曲線(xiàn)c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線(xiàn)y=1與直線(xiàn)BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)。
【解析】(1)曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,當(dāng)且僅當(dāng)解得
,所以m的取值范圍是
(2)當(dāng)m=4時(shí),曲線(xiàn)C的方程為,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為
,
由,得
因?yàn)橹本€(xiàn)與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn),所以
即
設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為,則
直線(xiàn)BM的方程為,點(diǎn)G的坐標(biāo)為
因?yàn)橹本€(xiàn)AN和直線(xiàn)AG的斜率分別為
所以
即,故A,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)。
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線(xiàn)的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線(xiàn)的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿(mǎn)足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線(xiàn)方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫(huà)出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
已知,
是橢圓
左右焦點(diǎn),它的離心率
,且被直線(xiàn)
所截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)是其橢圓上的任意一點(diǎn),當(dāng)
為鈍角時(shí),求
的取值范圍。
【解析】解:因?yàn)榈谝粏?wèn)中,利用橢圓的性質(zhì)由得
所以橢圓方程可設(shè)為:
,然后利用
得得
橢圓方程為
第二問(wèn)中,當(dāng)為鈍角時(shí),
,
得
所以
得
解:(Ⅰ)由得
所以橢圓方程可設(shè)為:
3分
得得
橢圓方程為
3分
(Ⅱ)當(dāng)為鈍角時(shí),
,
得
3分
所以
得
已知函數(shù);
(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
(2)若函數(shù),若在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】第一問(wèn)中,利用導(dǎo)數(shù),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),所以
內(nèi)滿(mǎn)足
恒成立,得到結(jié)論第二問(wèn)中,在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使
成立,等價(jià)于不等式
在[1,e]上有解,轉(zhuǎn)換為不等式有解來(lái)解答即可。
解:(1),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù),
所以 內(nèi)滿(mǎn)足
恒成立,即
恒成立,
亦即,
即可 又
當(dāng)且僅當(dāng),即x=1時(shí)取等號(hào),
在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是
.
(2)在[1,e]上至少存在一個(gè)x的值使成立,等價(jià)于不等式
在[1,e]上有解,設(shè)
上的增函數(shù),
依題意需
實(shí)數(shù)k的取值范圍是
已知數(shù)列是首項(xiàng)為
的等比數(shù)列,且滿(mǎn)足
.
(1) 求常數(shù)的值和數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2) 若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第
項(xiàng)、……,余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列
,試寫(xiě)出數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
.是否存在正整數(shù)
,使得
?若存在,試求所有滿(mǎn)足條件的正整數(shù)
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)中解:由得
,,
又因?yàn)榇嬖诔?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,
則即
,所以p=1
故數(shù)列為首項(xiàng)是2,公比為2的等比數(shù)列,即
.
此時(shí)也滿(mǎn)足,則所求常數(shù)
的值為1且
第二問(wèn)中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
(i)當(dāng)時(shí),
;
(ii) 當(dāng)時(shí),
,
所以
第三問(wèn)假設(shè)存在正整數(shù)n滿(mǎn)足條件,則,
則(i)當(dāng)時(shí),
,
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