0  1474  1482  1488  1492  1498  1500  1504  1510  1512  1518  1524  1528  1530  1534  1540  1542  1548  1552  1554  1558  1560  1564  1566  1568  1569  1570  1572  1573  1574  1576  1578  1582  1584  1588  1590  1594  1600  1602  1608  1612  1614  1618  1624  1630  1632  1638  1642  1644  1650  1654  1660  1668  447090 

S3=+=;

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S2=+=;

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解 S1==;

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17.★(本小題滿分8分)已知數(shù)列,,,…,,…,計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

分析 本題考查觀察、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力,考查數(shù)學(xué)歸納法在等式證明中的應(yīng)用.在用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),要注意觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.

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16.(本小題滿分8分)求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a-1整除(n∈N*).

分析 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題,常見的恒等式、不等式的命題可用數(shù)學(xué)歸納法證明,其他的如整除、幾何方面的命題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.在證明n=k+1時(shí),“配湊”的技巧掌握很重要,要有目的去“配湊”倍數(shù)式子,以及假設(shè)n=k時(shí)的式子.

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除;

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),

ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,     2分

則當(dāng)n=k+1時(shí),

ak+2+(a+1)2k+1

=a?ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1

=a?ak+1+a?(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1         5分

=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,

由假設(shè)可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除.

∴ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除,       7分

即n=k+1時(shí)命題也成立.

∴對(duì)n∈N*原命題成立.                 8分

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=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1],    6分

即n=k+1時(shí),命題成立.              7分

由(1)、(2)可知,命題對(duì)所有n∈N*都成立.     8分

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=(k+1)(k+2)(2k+3)

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=(k+1)(2k2+7k+6)

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=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]

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22+42+…+(2k)2+(2k+2)2=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)2    3分

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