1.平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AC和BD的交點，若 =a， =b， =c，則下列式子中與相等的是　　 (　 )

A.－ a+ b+c　　　　 B. a+ b+c

C. a－ b+c　 　 D.－ a－ b+c

2．要熟練掌握空間向量平行、垂直的條件及三個向量共面及四點共面的條件，掌握運用向量判定平行、垂直和求空間直線所成的角的方法.

　同步練習(xí)　　　　 　　　　9.7空間向量

[選擇題]

1．在處理立體幾何中的平行、垂直或求兩異面直線所成的角時,用向量來解決思維簡單，是模式化了的方法，是行之有效的方法.

2．用向量研究研究問題可以建立坐標(biāo)系用向量的代數(shù)形式，也可用向量的幾何形式.

[例3] 已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的單位法向量.

解：設(shè)面ABC的法向量n=(x，y，1)，則n⊥且n⊥，即n·=0，且n·=0，即　

∴n=(，－1，1)，單位法向量n₀=±=±(，－，).

思悟提練

求法向量一般用待定系數(shù)法.常把n的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo).平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的兩個.

單位法向量只需將法向量再除以它的模.

[例1]如圖,在平行六面體中,是的中點.

求證:(1)∥面.

(2)設(shè)E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC₁、C₁D₁、D₁A₁、A₁A的中點，則這六點共面.

分析:只需證明與面中的一組基向量共面.

證明(1):設(shè)

因為為平行四邊形,

,又O是的中點,

　 若存在實數(shù)使成立,則

因為向量不共線,

,.

所以是共面向量,

因為不在所確定的平面內(nèi),

∥面,又面,

∥面.

(2)

不共線，可作為基底，再依次證明、…能用這組基底表示即可，試試如何？

[例2] 在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

(1)求證：SC⊥BC；

(2)求SC與AB所成角的余弦值.

(3)若E、F、G分別是AB、AC、SB的中點，

求證：平面EFG⊥平面ACG..

思路1：要用向量來研究線面的位置關(guān)系，需要有一組基底把有關(guān)的向量表示出來，再用向量運算的幾何意義來研究。

解法1：(1)設(shè)，由已知得：

，

.

(2)

所以SC與AB所成的角為arccos.

(3)

思路2：圖中垂直關(guān)系較為明顯，容易建立坐標(biāo)系的，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)運算來研究.

解法2：如下圖，取A為原點，AD、AC、AS分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(一般建成右手系)，則由AC=2，BC=，SB=，得C(0，2，0)，B(，2，0)、S(0，0，2)。

　=(0，2，－2)，=(，0，0).

(1)∵=0，∴SC⊥BC.

(2)設(shè)SC與AB所成的角為θ，

∵=(，2，0)，·=4，||| |=4，∴cosθ=，即為所求.

(3)

,

思悟提練

1.利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直、線線平行、四點共面、求長度、求夾角等問題.

5.提示:設(shè)AD中點為G，得=3a+3b－5c.

5.=3a+3b－5c.　　　　　 6.120°

6.已知空間三點A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，則與的夾角θ的大小是_________.

◆答案提示：1-3.CCB;　　 4. k=.　

5.已知四邊形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，對角線AC、BD的中點分別為E、F，則=_____________.

4.已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且

ka+b與2a－b互相垂直，則k值是