4．平面向量的基本定理

如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

3．兩個(gè)向量共線定理：

向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。

2．向量的運(yùn)算

(1)向量加法

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.

設(shè)，則+==。

規(guī)定：

(1)；

(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”

(1)用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量。

(2) 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).

當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則。

向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：

，但這時(shí)必須“首尾相連”。

(2)向量的減法

①相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.

記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：　 (i)=；

(ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。

②向量減法

向量加上的相反向量叫做與的差，

記作：.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.

③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量(、有共同起點(diǎn))。

(3)實(shí)數(shù)與向量的積

①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

(Ⅰ)；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的。

②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律.

1．向量的概念

①向量

既有大小又有方向的量。向量一般用……來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：.幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的模(長(zhǎng)度)，記作||.即向量的大小，記作｜|。

向量不能比較大小，但向量的�？梢员容^大小.

②零向量

長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行.零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行(共線)的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件。(注意與0的區(qū)別)

③單位向量

模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。

④平行向量(共線向量)

方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。

數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的.

⑤相等向量

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。

本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等。此類題難度不大，分值5~9分。

預(yù)測(cè)2010年高考：

(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題；

(2)出題的知識(shí)點(diǎn)可能為以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交點(diǎn)位置或借助向量的坐標(biāo)形式表達(dá)共線等問(wèn)題。

(1)平面向量的實(shí)際背景及基本概念

通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；

(2)向量的線性運(yùn)算

①通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；

②通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；

③了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

①了解平面向量的基本定理及其意義；

②掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；

③會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；

④ 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

26．解：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期公式為，據(jù)題意l＝Lsina ，

所以A球振動(dòng)的周期 ．

　設(shè)球B自由下落的時(shí)間為t，則它擊中A球下落的高度，

　球A經(jīng)過(guò)平衡位置，接著返回到平衡位置的時(shí)間為半個(gè)周期，即

B球能擊中A球的時(shí)間應(yīng)為A球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的半周期的整數(shù)倍，

即　故　 　

則B球下落的高度Lsina ，其中n＝1，2，3…

25．解：本題在分析時(shí)要聯(lián)系牛頓第二定律和機(jī)械能的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析。在放物體前其最大回復(fù)力為，振動(dòng)的機(jī)械能為。

(1)放上物體m后，一起振動(dòng)的最大加速度大小為，對(duì)物體而言，所需要的回復(fù)力是M施于的靜摩擦力，則放上時(shí)加速度最大，所需的靜摩擦力亦最大，設(shè)最大靜摩擦力大小為，則當(dāng)滿足時(shí)，兩者可一起振動(dòng)，即。

(2)當(dāng)兩者一起振動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒，過(guò)平衡位置時(shí)，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，彈性勢(shì)能為零，則，，物體和振子在最大位移處，動(dòng)能為零，勢(shì)能最大，這個(gè)勢(shì)能與沒(méi)有放物體前相同，所以彈簧的最大形變是不變的，即振幅仍為A。

24.因?yàn)閳A弧的半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于AB弧長(zhǎng)，小球在槽內(nèi)的擺動(dòng)可以看為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，同時(shí)小球在沿AD的方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)。由于擺動(dòng)具有周期性，所以小球的速度有通解。

沿AD方向：小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

又小球在擺動(dòng)，要到達(dá)D點(diǎn)，則t=nT=n·2π　 (n=0、1、2、3……)

得出v=　 (n=0、1、2、3……)

23.解：最高點(diǎn)木塊不脫離彈簧，則振動(dòng)的最高點(diǎn)不超過(guò)彈簧的原長(zhǎng)，即A≤，從而有：