12．(16分)已知向量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示．

(1)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)與f(b)的坐標(biāo)；

(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)；

(3)證明：對(duì)任意的向量a、b及常數(shù)m、n，恒有f(ma+nb)＝mf(a)+nf(b)成立．

[解析]　(1)∵a＝(1,1)，

∴f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．

又∵b＝(1,0)，

∴f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)

(2)設(shè)c＝(x，y)，

則f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，

∴，∴，

c＝(2p－q，p)．

(3)證明：設(shè)a＝(a₁，a₂)，b＝(b₁，b₂)，

則ma+nb＝(ma₁+nb₁，ma₂+nb₂)，

所以f(ma+nb)＝(ma₂+nb_2,2ma₂+2nb₂－ma₁－nb₁)．

因?yàn)?i>mf(a)＝m(a_2,2a₂－a₁)，nf(b)＝n(b_2,2b₂－b₁)，

所以mf(a)+nf(b)＝(ma₂+nb_2,2ma₂+2nb₂－ma₁－nb₁)，

所以f(ma+nb)＝mf(a)+nf(b)成立．

11．(15分)已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3，－1)(1,2)，并且＝，＝.求證：∥.

[證明]　設(shè)E，F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

則依題意，得＝(2,2)，(－2,3)，(4，－1)．

∴＝＝，＝＝

∴＝(x₁，y₁)，－(－1,0)＝，

＝(x₂，y₂)－(3，－1)＝

∴(x₁，y₁)＝+(－1,0)＝，

(x₂，y₂)＝+(3，－1)＝.

∴＝(x₂，y₂)－(x₁，y₁)＝.

10．(15分)已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和的坐標(biāo)．

[解析]　設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

由題意得＝(x₁+1，y₁－2)，＝(3,6)，

＝(－1－x_2,2－y₂)，＝(－3，－6)．

因?yàn)椋�，＝－�?/p>

所以有和

解得和

所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是(0,4)，(－2,0)，

從而＝(－2，－4)

9．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)+λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)+λ(4,5)，λ∈R}，則M∩N＝________.

[解析]　由(1,2)+λ₁(3,4)＝(－2，－2)+λ₂(4,5)，

得，

解得，∴M∩N＝{(－2，－2)}．

[答案]　{(－2，－2)}

8．已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝+λ(λ∈R)，則當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，λ的取值范圍是________．

[解析]　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＝(x－2，y－3)，

又∵＝+λ＝(3,1)+λ(5,7)＝(3+5λ，1+7λ)，

∴(x－2，y－3)＝(3+5λ，1+7λ)，

即

又∵點(diǎn)P在第三象限．

∴，解得λ＜－1.

[答案]　(－∞，－1)