3.從編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的11個(gè)球中，取出5個(gè)小球，使這5個(gè)小球的編號(hào)之和為奇數(shù)，其方法總數(shù)為(　 )

(A)200　 (B)230　 (C)236　 (D)206

2.男女學(xué)生共有8 人，從男生中選取2人，且從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有(　 )

2人或3人　 (B)3人或4人　 (C)3人　 (D)4人

1.從{1、2、3、4、…、20}中任選3個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列最多有(　 )

90個(gè)　 (B)180個(gè)　 (C)200個(gè)　 (D)120個(gè)

例1 由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)

(1)求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)；

(2)求三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)

解 (1)：因?yàn)槿齻�(gè)偶數(shù)2、4、6必須相鄰，所以要得到一個(gè)符合條件的七位數(shù)可以分為如下三步：

第一步將1、3、5、7四個(gè)數(shù)字排好有種不同的排法；

第二步將2、4、6三個(gè)數(shù)字“捆綁”在一起有 種不同的“捆綁”方法;

第三步將第二步“捆綁”的這個(gè)整體“插入”到第一步所排的四個(gè)不同數(shù)字的五個(gè)“間隙”(包括兩端的兩個(gè)位置)中的其中一個(gè)位置上,有種不同的“插入”方法

根據(jù)乘法原理共有＝720種不同的排法所以共有720個(gè)符合條件的七位數(shù)

解(2)：因?yàn)槿齻�(gè)偶數(shù)2、4、6 互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數(shù)可以分為如下兩步：

第一步將1、3、5、7四個(gè)數(shù)字排好，有 種不同的排法；

第二步將2、4、6分別“插入”到第一步排的四個(gè)數(shù)字的五個(gè)“間隙”(包括兩端的兩個(gè)位置)中的三個(gè)位置上，有 種“插入”方法

根據(jù)乘法原理共有＝1440種不同的排法所以共有1440個(gè)符合條件的七位數(shù)

例2　 將A、B、C、D、E、F分成三組，共有多少種不同的分法？

解：要將A、B、C、D、E、F分成三組，可以分為三類辦法：

(1－1－4)分法、(1－2－3)分法、(2－2－2)分法

下面分別計(jì)算每一類的方法數(shù)：

第一類(1－1－4)分法，這是一類整體不等分局部等分的問(wèn)題，可以采用兩種解法

解法一：從六個(gè)元素中取出四個(gè)不同的元素構(gòu)成一個(gè)組，余下的兩個(gè)元素各作為一個(gè)組，有種不同的分法

解法二：從六個(gè)元素中先取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法，再?gòu)挠嘞碌奈鍌�(gè)元素中取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法，最后余下的四個(gè)元素自然作為一個(gè)組，由于第一步和第二步各選取出一個(gè)元素分別作為一個(gè)組有先后之分，產(chǎn)生了重復(fù)計(jì)算，應(yīng)除以

所以共有 ＝15種不同的分組方法

　　 第二類(1－2－3)分法，這是一類整體和局部均不等分的問(wèn)題，首先從六個(gè)不同的元素中選取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種不同的選法，再?gòu)挠嘞碌奈鍌�(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有 種不同的選法，余下的最后三個(gè)元素自然作為一個(gè)組，根據(jù)乘法原理共有＝60種不同的分組方法

　　 第三類(2－2－2)分法，這是一類整體“等分”的問(wèn)題，首先從六個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同元素作為一個(gè)組有 種不同的取法，再?gòu)挠嘞碌乃膫�(gè)元素中取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有種不同的取法，最后余下的兩個(gè)元素自然作為一個(gè)組由于三組等分存在先后選取的不同的順序，所以應(yīng)除以 ，因此共有 ＝15種不同的分組方法

　　 根據(jù)加法原理，將A、B、C、D、E、F六個(gè)元素分成三組共有：15+60+15＝90種不同的方法

例3 一排九個(gè)坐位有六個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？

解：九個(gè)坐位六個(gè)人坐，空了三個(gè)坐位，每個(gè)空位兩邊都有人，等價(jià)于三個(gè)空位互不相鄰，可以看做將六個(gè)人先依次坐好有種不同的坐法，再將三個(gè)空坐位“插入”到坐好的六個(gè)人之間的五個(gè)“間隙”(不包括兩端)之中的三個(gè)不同的位置上有種不同的“插入”方法

根據(jù)乘法原理共有 ＝7200種不同的坐法

解排列組合問(wèn)題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對(duì)于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無(wú)序的”，也就是會(huì)正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問(wèn)題，需掌握以下幾種常用的解題方法：

特殊優(yōu)先法對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問(wèn)題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如：用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有________個(gè).(答案：30個(gè))

科學(xué)分類法對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如：從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的選取法有_______種.(答案：350)

插空法解決一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問(wèn)題得以解決例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是______.(答案:3600)

捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是________種.(答案：240)

排除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.

b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問(wèn)題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.例如：從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條.(答案：30)

12．組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+　

10．組合數(shù)公式：

或

11 組合數(shù)的性質(zhì)1：．規(guī)定：；

9．組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示．

7．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：=

8組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合

5．排列數(shù)公式：()

6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定．