51. 已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。 　 　求：AM與CN所成的角的余弦值； 解析：(1)連接DM,過(guò)N作NE∥AM交DM于E，則∠CNE 　為AM與CN所成的角。 　∵N為AD的中點(diǎn), NE∥AM省　 　∴NE=AM且E為MD的中點(diǎn)。 　設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，　則NC=·= 且ME=MD= 　在Rt△MEC中，CE²=ME²+CM²=+=

∴cos∠CNE=, 　又∵∠CNE ∈(0, ) ∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為.

注：1、本題的平移點(diǎn)是N，按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在△CEN外計(jì)算CE、CN、EN長(zhǎng)，再回到△CEN中求角。

50. 點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF= AD，求異面直線AD和BC所成的角。(如圖)　　　　　　

解析：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故EG∥BC且EG= BC，F(xiàn)G∥AD，且FG=AD，由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即∠EGF為所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD_，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

　　 注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G，按定義過(guò)G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在△EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系。

49. 設(shè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，若AB＝12，CD＝4 ，且四邊形EFGH的面積為12 ，求AB和CD所成的角.

解析： 由三角形中位線的性質(zhì)知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG就是異面直線AB和CD所成的角.

∵　 EFGH是平行四邊形，HG＝ AB＝6，

HE＝ ，CD＝2，

∴　 S_EFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝12 sin∠EHG,∴ 12 sin∠EHG＝12.

∴　 sin∠EHG＝,故∠EHG＝45°.

∴　 AB和CD所成的角為45°

注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。

48.經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)A，B和平面垂直的平面有幾個(gè)？

解析：一個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè)。

當(dāng)A，B不垂直于平面時(shí)，只有一個(gè)。

當(dāng)A，B垂直于平面時(shí)，有無(wú)數(shù)多個(gè)。

47. 畫(huà)出滿足下列條件的圖形。

(1)α∩β=1，a α，b β，a∩b=A

(2)α∩β=a，b β，b∥a

解析：如圖1-8-甲，1-8-乙

46. 三條平行直線可以確定平面_________個(gè)。答案：1個(gè)或3個(gè)

解析：分類(lèi)、一類(lèi)三線共面，即確定一個(gè)平面，另一類(lèi)三線不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)，可確定3個(gè)。

45. 三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有________3個(gè)。

解析：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不在一條直線上，故可確定一個(gè)平面，三角形在這個(gè)平面內(nèi)；圓上任取三點(diǎn)一定不在一條直線上，這三點(diǎn)即確定一個(gè)平面，也確定了這個(gè)圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而正六邊形內(nèi)接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，它的四個(gè)頂點(diǎn)可以不在同一平面內(nèi)。

44. 空間一條直線及不在這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，如果連結(jié)這兩點(diǎn)的直線與已知直線_______，則它們?cè)谕�一平面�?nèi)。答案：相交或平行

解析：根據(jù)推論2，推論3確定平面的條件。

43. 如果一條直線上有一個(gè)點(diǎn)不在平面上，則這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有____1個(gè)。

解析：如果有兩個(gè)，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這就與已知有一個(gè)點(diǎn)不在平面上矛盾，所以這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有一個(gè)。

42. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是　 [　　 ]

①三角形是平面圖形　 ②四邊形是平面圖形

③四邊相等的四邊形是平面圖形　　 ④矩形一定是平面圖形

A．1個(gè)　　 B．2個(gè)　 C．3個(gè)　 D．4個(gè)

解析：命題①是正確的，因?yàn)槿�角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，所以這三點(diǎn)確定平面。

命題②是錯(cuò)誤，因平面四邊形中的一個(gè)頂點(diǎn)在平面的上、下方向稍作運(yùn)動(dòng)，就形成了空間四邊形。命題③也是錯(cuò)誤，它是上一個(gè)命題中比較特殊的四邊形。

命題④是正確的，因?yàn)榫匦伪仨毷瞧叫兴倪呅�，有一組對(duì)邊平行，則確定了一個(gè)平面。