Question

2．有一組數(shù)：$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{20}$　…．則第6個(gè)數(shù)是$\frac{1}{42}$，第n個(gè)數(shù)是$\frac{1}{n（n+1）}$，前10個(gè)數(shù)的和是$\frac{10}{11}$．

Answer 1

分析 這組數(shù)的分子都是1，
分母依次是2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5…
第幾個(gè)數(shù)的分母就是項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)加1的乘積，即n（n+1），由此得出第6個(gè)數(shù)和第n個(gè)數(shù)是多少；
再根據(jù)$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把每個(gè)數(shù)都拆分，然后相互抵消，求出前10個(gè)數(shù)的和．

解答 解：這組數(shù)的分子都是1，
分母依次是2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5…
第n個(gè)數(shù)的分母就是n（n+1）
所以第6個(gè)數(shù)的分母就是6×7=42
第6個(gè)數(shù)就是$\frac{1}{42}$；
第n個(gè)數(shù)就是$\frac{1}{n（n+1）}$；
第10個(gè)數(shù)是$\frac{1}{10×（10+1）}$=$\frac{1}{110}$
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+…$\frac{1}{110}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$
故答案為：$\frac{1}{42}$，$\frac{1}{n（n+1）}$，$\frac{10}{11}$．

點(diǎn)評 解決本題關(guān)鍵是找出分母的變化規(guī)律，得出分母的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出每個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式，再根據(jù)$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$求和．