Question

9．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連接ED，以PE、ED為鄰邊作平行四邊形PEDF．設(shè)線段AP的長(zhǎng)為x（0＜x＜6）．
（1）求線段PE的長(zhǎng)．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)四邊形PEDF為菱形時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由PE與BC平行，得到三角形APE與三角形ABC相似，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，得到三角形APE為等邊三角形，可得出PE=AP=x；
（2）若四邊形PEDF為菱形，得到PE=DE=x，由三角形APE為等邊三角形得到AE=PE，可得出AE=DE，利用等邊對(duì)等角得到∠DAC=∠ADE，利用等式的性質(zhì)得到∠EDC=∠C，利用等角對(duì)等邊得到DE=EC，即可求出x的值；

解答 解：（1）∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴△APE是等邊三角形，
∴PE=AP=x（0＜x＜6）；
（2）∵四邊形PEDF為菱形，
∴PE=DE=x，
又∵△APE是等邊三角形，則AE=PE，
∴AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴DE=EC=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=3，
即x=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，以及平行四邊形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．