Question

【題目】如圖，一次函數(shù)（）的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)（）的圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C，已知CM=1．

（1）求的值；

（2）若，求反比例函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)P是x軸（除原點(diǎn)O外）上一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)P按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例關(guān)系：中，可得結(jié)論；

（2）根據(jù)△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)式中可得k2的值；

（3）如圖2，點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，繞P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，根據(jù)△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，設(shè)P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函數(shù)的關(guān)系式中可得Q的兩個(gè)坐標(biāo)；

如圖3，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)；

如圖4，點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，繞P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，同理可得結(jié)論．

解：（1）如圖1，

∵MC⊥y軸于點(diǎn)C，且CM=1，

∴M的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x=1時(shí)，y=k1+5，

∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函數(shù)的圖象上，

∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5；

（2）如圖1，過(guò)N作ND⊥y軸于D，

∴CM∥DN，

∴△ACM∽△ADN，

∴，

∵CM=1，

∴DN=4，當(dāng)x=4時(shí)，y=4k1+5，

∴N（4，4k1+5），

∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，

∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4，

∴反比例函數(shù)的解析式：；

（3）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能在反比例函數(shù)的圖象上；

如圖2，CP=PQ，∠CPQ=90°，過(guò)Q作QH⊥x軸于H，

易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函數(shù)的解析式：；

當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

∴M（1，4），

∴OC=PH=4，

設(shè)P（x，0），

∴Q（x+4，x），

當(dāng)點(diǎn)Q落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±，

當(dāng)x=﹣2+時(shí)，x+4=2+，

如圖2，Q（2+，﹣2+）；

當(dāng)x=﹣2﹣時(shí)，x+4=2﹣，如圖3，Q（2﹣，﹣2﹣）；

如圖4，CP=PQ，∠CPQ=90°，

設(shè)P（x，0），過(guò)P作GH∥y軸，過(guò)C作CG⊥GH，過(guò)Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH，

∴PG=QH=4，CG=PH=x，

∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2，

∴Q（﹣2，﹣2），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．