Question

（2012•寧德）如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=

1

x

在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，作MB⊥x軸于B．過點(diǎn)M的第一條直線交y軸于點(diǎn)A₁，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C₁，且A₁C₁=

1

2

A₁M，△A₁C₁B的面積記為S₁；過點(diǎn)M的第二條直線交y軸于點(diǎn)A₂，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C₂，且A₂C₂=

1

4

A₂M，△A₂C₂B的面積記為S₂；過點(diǎn)M的第三條直線交y軸于點(diǎn)A₃，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C₃，且A₃C₃=

1

8

A₃M，△A₃C₃B的面積記為S₃；以此類推…；則S₁+S₂+S₃+…+S₈=

255

512

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=

1

x

在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，即可得出S△A1BM=

1

2

OB×MB=

1

2

，再利用C₁到BM的距離為A₁到BM的距離的一半，得出S₁=S△BMC1=

1

2

S△A1BM=

1

4

，同理即可得出S₂=S△A2C2B=

1

4

S△BMA2=

1

8

，S₃=

1

16

，S₄=

1

32

…進(jìn)而求出S₁+S₂+S₃+…+S₈的值即可．

解答：解：過點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A₁作A₁E⊥BM于點(diǎn)E，過點(diǎn)C₁作C₁F⊥BM于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=

1

x

在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，
∴OB×BM=1，
∴S△A1BM=

1

2

OB×MB=

1

2

，
∵A₁C₁=

1

2

A₁M，即C₁為A₁M中點(diǎn)，
∴C₁到BM的距離C₁F為A₁到BM的距離A₁E的一半，
∴S₁=S△BMC1=

1

2

S△A1BM=

1

4

，
∴S△BMA2=

1

2

BM•A₂到BM距離=

1

2

×BM×BO=

1

2

，
∵A₂C₂=

1

4

A₂M，
∴C₂到BM的距離為A₂到BM的距離的

3

4

，
∴S₂=S△A2C2B=

1

4

S△BMA2=

1

8

，
同理可得：S₃=

1

16

，S₄=

1

32

…
∴

1

4

+

1

8

+…+

1

28

+

1

29

，
=

1

4

+

1

8

+…+

1

256

+

1

512

，
=

255

512

，
故答案為：

255

512

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積關(guān)系，根據(jù)同底三角形對(duì)應(yīng)高的關(guān)系得出面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．