Question

如圖，拋物線y=﹣x²+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

①當x＞0時，y＞0； 

②若a=﹣1，則b=3；

③拋物線上有兩點P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；

④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6．

其中真命題的序號是　　　　　　．

　

　

Answer 1

　②③　．

【考點】拋物線與x軸的交點．

【專題】計算題．

【分析】觀察函數(shù)圖象，利用拋物線在x軸上所對應的自變量的取值范圍可對①進行判斷；拋物線的對稱軸為直線x=1，則利用對稱性可對②進行判斷；確定點Q比點P離對稱軸的距離要大，則根據(jù)二次函數(shù)的性質可對③進行判斷；當m=2時，先確定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股計算出DE=，作D點關于y軸的對稱點為D′，E點關于y軸的對稱點為E′，利用關于坐標軸對稱的點的坐標特征得到D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），根據(jù)對稱的性質得FD=FD′，GE=GE′，于是FD+FG+GE=D′E′，根據(jù)兩點之間線段最短可判斷此時四邊形EDFG周長的最小，然后利用勾股定理計算出D′E′=，于是可對④進行判斷．

【解答】解：當a＜x＜b時，y＞0，所以①錯誤；

拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，當a=﹣1，即A（﹣1，0），而點A與點B為對稱點，則B（3，0），所以②正確；

因為x₁＜1＜x₂，所以點P和Q在對稱軸兩側，而x₁+x₂＞2，則點Q比點P離對稱軸的距離要大，所以y₁＞y₂，所以③正確；

當m=2時，y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，則D（1，4），C（0，3），

∵點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，

∴E（2，3），

∴DE==，

作D點關于y軸的對稱點為D′，E點關于y軸的對稱點為E′，則D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），

∴FD=FD′，GE=GE′，

∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，

∴此時四邊形EDFG周長的最小，

而D′E′==，

∴四邊形EDFG周長的最小值為+，所以④錯誤．

故答案為②③．

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質和求最短路徑的解決方法．