Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)立即停止．連接CD，取CD的中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，與折線DO﹣OA﹣AC交于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求證：點(diǎn)E到x軸的距離為定值；
（3）連接DF、CF，當(dāng)△CDF是以CD為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）（3t，4﹣4t）
（2）

解：證明：∵點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，

∴OD=4t，

∴D（0，4t）．

∵點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，

∴E（ ， ），既（ ，2），

∴點(diǎn)E到x軸的距離為定值

（3）

解：按點(diǎn)F的位置不同來(lái)考慮．

①當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，如圖2所示．

∵DF⊥AB，∠AOB=90°，

∴△BDF∽△BAO，

∴ ，

∴DF=CF= （1﹣t），BF= （1﹣t）．

∵BF=BC+CF，

∴ （1﹣t）=5t+ （1﹣t），

∴t= ．

此時(shí)DF= ×（1﹣ ）= ，CD= DF= ；

②當(dāng)點(diǎn)F在OA上時(shí)，如圖3所示，顯然不存在；

③當(dāng)點(diǎn)F在OD上時(shí)，如圖4所示．

∵C（3t，4﹣4t），D（0，4t），∠CFD=90°，

∴F（0，4﹣4t），

∴DF=4t﹣（4﹣4t）=8t﹣4，CF=3t．

∵△CDF為等腰直角三角形，

∴DF=CF，即8t﹣4=3t，

解得：t= ．

此時(shí)CF=3× = ，CD= CF= ．

綜上可知：當(dāng)△CDF是以CD為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為 或 ．

【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖1所示．
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴B（0，4），OB=4；
當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴A（3，0），OA=3．
∴AB= =5．
∵CM⊥x軸，BO⊥x軸，
∴ ，
∴ ，
∵BC=5t，AB=5，OA=3，
∴OM= BC=3t．
當(dāng)x=3t時(shí)，y=4﹣4t，
∴C（3t，4﹣4t）．
所以答案是：（3t，4﹣4t）．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)．