Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，點D是AC上的一點，將△ABC沿著過點D的一條直線翻折，使點C落在BC邊上的點E處，連接AE、DE，當∠CDE=∠AEB時，AE的長是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

分別過A、D點作AM、DN垂直于BC與M、N點，利用三角形內角和180°，以及平角180度，推導出ED平分∠AEC，則DA=DN，設DN=DA=x，則CD=8-x，利用三角函數求出ED、DN長，從而確定了EN和CN長為4，可求BE=2，利用三角函數知識求出AM、BM值，最后在Rt△AEM中利用勾股定理求的AE長．

由勾股定理可得BC=10．

分別過A、D點作AM、DN垂直于BC與M、N點，

根據折疊的性質可知∠C=∠DEC，EN=CN，

∵∠DEC+∠C+∠EDC=180°，∠DEC+∠AED+∠AEB=180°，

已知∠EDC=∠AEB，∴∠AED=∠DCE=∠DEC，即ED平分∠AEC，

根據角平分線的性質可得DN=DA，

設DN=DA=x，則CD=8-x，

sinC=，即，

解得x=3，

所以DN=3，CD=5，

所以NC=4，EN=4，

所以BE=10-4-4=2，

sinB=，即，解得AM=4.8，

在Rt△ABM中利用勾股定理可得BM=3.6，

則EM=3.6-2=1.6，

在Rt△AEM中，AE=.