Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將拋物線向上平移得到拋物線，拋物線與軸分別交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，如果與相似，求所有符合條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的函數(shù)表達(dá)式為或．

【解析】

（1）根據(jù)和拋物線的對(duì)稱性可得是等腰直角三角形，過(guò)作，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)代入求解即可；

（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)和角的計(jì)算可得，分兩種情況：，分別求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，由題意可設(shè)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入即可求得結(jié)果．

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為，

由拋物線的對(duì)稱性可得：，

，

是等腰直角三角形，

如圖，過(guò)作軸于，則為OA的中點(diǎn)，

可得：，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

把點(diǎn)代入，可得

，解得，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）是等腰直角三角形，，，

，

，

由題意可知：點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)，，

∴，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

①當(dāng)時(shí)，，

即，解得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

②當(dāng)時(shí)，，

即，解得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

拋物線向上平移得到拋物線，拋物線：化為頂點(diǎn)式得，

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

把點(diǎn)代入得：

，解得：，

此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

把點(diǎn)代入得：

，解得：，

此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

綜上所述，所有符合條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為或．