【題目】如圖，在矩形ABCD中，E 是AB 上的一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂直為F．圓O經(jīng)過點(diǎn)C ，D ，F，且與AD相交于點(diǎn)G．

(1)求證，△AFG∽△DFC；

(2)若AB=3，BC=5，AE=1，求圓O的半徑．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）欲證明△AFG∽△DFC，只要證明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；

（2）首先證明CG是直徑且△EDA∽△ADF，結(jié)合△AFG∽△DFC，利用相似三角形的性質(zhì)求出AG，得到DG，再利用勾股定理求出CG即可解決問題．

（1）證明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如圖，連接CG．

∵∠ADC=90°,

∴CD為⊙O的直徑，
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴，即，
∵△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，DA=BC=5，DC=AB=3
∴

∴DG=AD-AG=5-=,

在Rt△CDG中，

∵CG是⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（問題情境）定義：如圖1，點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊CD上，若AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)相似的三角形，則稱點(diǎn)E為該四邊形的相似點(diǎn)．

（1）若相似點(diǎn)在四邊形ABCD的邊CD上， 且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)正三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長(zhǎng)從小到大排序)為_______．

（2）若相似點(diǎn)在四邊形ABCD的邊CD上，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)全等的等腰直角三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長(zhǎng)從小到大排序)為_______．

（3）（探索研究）

如圖2，點(diǎn)E為四邊形ABCD邊上的相似點(diǎn)，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)全等的三角形，已知∠ABC=90°，AD=AB=BC=2，求邊CD的長(zhǎng)．

（4）（問題解決）

如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為四邊形ABCD的邊CD上的相似點(diǎn)，且AD=a，AB=b，BC=c(其中a≠c)，此時(shí)邊CD的長(zhǎng)為多少？請(qǐng)用含a、b、c的代數(shù)式直接寫出所有可能的結(jié)果．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中華文明，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)；中華漢字，寓意深廣．為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校團(tuán)委組織了一次全校1000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽，賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績(jī)均不低于50分．為了更好地了解本次大賽的成績(jī)分布情況，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)取整數(shù)，總分100分）作為樣本進(jìn)行整理，得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

成績(jī)/分

頻數(shù)

頻率

10

0.05

20

0.10

30

0.30

80

0.40

請(qǐng)根據(jù)所給的信息，解答下列問題：

（1）_____，_____；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）這次比賽成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在______分?jǐn)?shù)段；

（4）若成績(jī)?cè)?/span>90分以上（包括90分）的為優(yōu)等，則該校參加這次比賽的1000名學(xué)生中成績(jī)優(yōu)等的大約有多少人？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向．如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形EFGH的頂點(diǎn)E，G分別在菱形ABCD的邊AD ，BC上，頂點(diǎn)F，H在菱形ABCD的對(duì)角線BD上，若AB=6，∠A=120°，且DE=2，則FH=_______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圖1是一臺(tái)用保護(hù)套套好的帶鍵盤的平板電腦實(shí)物圖，圖2是它的示意圖，忽略平板電腦的厚度，支架BE分別固定在平板電腦AD背面中點(diǎn)B處，桌面E處，EB可以繞點(diǎn)E轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D在線段EF上滑動(dòng)時(shí)，可調(diào)節(jié)平板電腦AD的傾斜角，經(jīng)測(cè)量，，，支架．

（1）連接AE，求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，求A，E兩點(diǎn)間的距離；

（3）當(dāng)點(diǎn)D滑到距離F點(diǎn)1cm處時(shí)，視覺效果最好，求此時(shí)傾斜角的度數(shù)．

（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留一位小數(shù)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將拋物線向上平移得到拋物線，拋物線與軸分別交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，如果與相似，求所有符合條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形ABCD中，tan∠A＝，M，N分別在AD，BC上，將四邊形AMNB沿MN翻折，使AB的對(duì)應(yīng)線段EF經(jīng)過頂點(diǎn)D，當(dāng)EF⊥AD時(shí)，的值為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)于點(diǎn)P（xp，yp）和圖形G，設(shè)Q（xQ，yQ）是圖形G上任意一點(diǎn)，|xp﹣xQ|的最小值叫點(diǎn)P和圖形G的“水平距離”，|yp﹣yQ|的最小值叫點(diǎn)P和圖形G的“豎直距離”，點(diǎn)P和圖形G的“水平距離”與“豎直距離”的最大值叫做點(diǎn)P和圖形G的“絕對(duì)距離”

例如：點(diǎn)P（﹣2，3）和半徑為1的⊙O，因?yàn)?/span>⊙O上任一點(diǎn)Q（xQ，yQ）滿足﹣1≤xQ≤1，﹣1≤yQ≤1，點(diǎn)P和⊙O的“水平距離”為|﹣2﹣xQ|的最小值，即|﹣2﹣（﹣1）|=1，點(diǎn)P和⊙O的“豎直距離”為|3﹣yQ|的最小值即|3﹣1|=2，因?yàn)?/span>2＞1，所以點(diǎn)P和⊙O的“絕對(duì)距離”為2．

已知⊙O半徑為1，A（2，），B（4，1），C（4，3）

（1）①直接寫出點(diǎn)A和⊙O的“絕對(duì)距離”

②已知D是△ABC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D與⊙O的“絕對(duì)距離”為2時(shí)，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）已知E是△ABC邊一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)E與⊙O的“絕對(duì)距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)

（3）已知P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC沿直線AB平移過程中，直接寫出點(diǎn)P與△ABC的“絕對(duì)距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

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