Question

【題目】（感知）如圖①，正方形中，點在邊上，平分．若我們分別延長與，交于點，則易證．（不需要證明）

（探究）如圖②，在矩形中，點在邊的中點，點在邊上，平分．求證：．

（應用）在（探究）的條件下，若，，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】【感知】見解析；【探究】見解析；【應用】

【解析】

感知：如圖①，根據平行線的性質和角平分線的定義可得出結論；

探究：如題②，作輔助線，證明△AED≌△GEC，得到AD=CG=BC，再由感知中得到AF=FG，可得出結論；

應用：設FC=x，則AF=x+6，BF=6-x，由勾股定理列方程可得結論．

感知：

證明：如圖①

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

∵AE平分∠DAF，

∴∠DAE=∠FAG，

∴∠FAG=∠G，

∴AF=FG．

探究：

解：如圖，分別延長與，交于點．

∵點E是CD邊的中點，

∴DE=EC.

矩形，

，

，

又，

(ASA)，

，，

是的平分線，

，

．

即．

應用：

解：如圖②，設FC=x，則AF=x+6，BF=6-x，

∵點E是DC的中點，DE=2，

∴DC=4，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2，

（6+x）2=42+（6-x）2

解得：，

∴．