Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意三點(diǎn)A，B，C，給出如下定義：

若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的外延矩形．點(diǎn)A，B，C的所有外延矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形．例如，圖中的矩形，，都是點(diǎn)A，B，C的外延矩形，矩形是點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如圖1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．

①若，則點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為 ；

②若點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為24，則的值為 ；

（2）如圖2，已知點(diǎn)M（6，0），N（0，8）．P（，）是拋物線上一點(diǎn)，求點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）如圖3，已知點(diǎn)D（1，1）．E（，）是函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，矩形OFEG是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圓，請直接寫出⊙H的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①18；②t=4或t=－1；（2）48；，或；（3）

【解析】

試題（1）根據(jù)給出的新定義進(jìn)行求解；（2）過M點(diǎn)作軸的垂線與過N點(diǎn)垂直于軸的直線交于點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)P位于矩形OMQN內(nèi)部或邊界時(shí)，矩形OMQN是點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形，且面積最小；根據(jù)當(dāng)y=0是y=8時(shí)求出x的值得到取值范圍；（3）根據(jù)最佳外延矩形求出半徑的取值范圍.

試題解析：（1）①18； ②t=4或t=－1；

（2）如圖，過M點(diǎn)作軸的垂線與過N點(diǎn)垂直于軸的直線交于點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)P位于矩形OMQN內(nèi)部或邊界時(shí)，矩形OMQN是點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形，且面積最�。�

∵S矩形OMQN＝OM·ON＝6×8＝48， ∴點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值為48．

拋物線與軸交于點(diǎn)T（0，5）． 令，有，

解得：x=－1（舍去），或x=5．

令y=8，有，解得x=1，或x=3．∴，或．

（3）．