Question

【題目】如圖，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，直線DF⊥AC，于點F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）求cos∠ADF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD和CD，根據(jù)圓周角定理求出∠BDC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AD＝BD，根據(jù)三角形的中位線求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADF＝∠ODC，等量代換得到∠ADF＝∠ODC，根據(jù)勾股定理得到CD＝12，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．

（1）證明：連接OD，CD，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，

∵AC＝BC，AB＝10，

∴AD＝BD＝5，

∵O為BC中點，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∵OD過O，

∴直線DF是⊙O的切線；

（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，

∴∠ADF＝∠ODC，

∴OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠ADF＝∠ODC，

∵BD＝5，BC＝13，

∴CD＝12，

∴＝＝．