Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD．在BD左側(cè)作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE為鄰邊作ADEF，連接CD，DF．

（1）若AC＝BC，BD＝DE．

①如圖1，當(dāng)B，D，F三點(diǎn)共線時(shí)，CD與DF之間的數(shù)量關(guān)系為　 ．

②如圖2，當(dāng)B，D，F三點(diǎn)不共線時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，，且E，C，F三點(diǎn)共線，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①DF＝CD,②結(jié)論仍然成立．理由見解析；（2）.

【解析】

（1）①證明△BCD≌△ACF（SAS），即可推出△DCF是等腰直角三角形解決問題；

②結(jié)論仍然成立．如圖2中，連接CF．延長BD交AF的延長線于H，設(shè)AC交BH于G．證明方法類似①；

（2）如圖3中，延長BD交AF于H．設(shè)BH交AC于G．證明△CBD∽△CAF，推出，∠BCD=∠ACF，推出∠BCA=∠DCF=90°，證明∠ADC=90°，由CD：AC=4：5，設(shè)CD=4k，AC=5k，則AD=EF=3k，求出AF，CE（用k表示）即可解決問題．

（1）①如圖1中，連接CF．設(shè)AC交BF于G．

∵四邊形AFED是平行四邊形，

∴AF＝DE，DE∥AF，

∵BD＝DE，

∴AF＝BD，

∵∠BDE＝90°，

∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，

∵∠CGB＝∠AGF，

∴∠CBD＝∠CAF，

∵BC＝AC，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，

∴∠BCA＝∠DCF＝90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴DF＝CD．

故答案為DF＝CD．

②結(jié)論仍然成立．

理由：如圖2中，連接CF．延長BD交AF的延長線于H，設(shè)AC交BH于G．

∵四邊形AFED是平行四邊形，

∴AF＝DE，DE∥AF，

∵BD＝DE，

∴AF＝BD，

∵∠BDE＝90°，

∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，

∵∠CGB＝∠AGH，

∴∠CBD＝∠CAF，

∵BC＝AC，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，

∴∠BCA＝∠DCF＝90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴DF＝CD．

（2）如圖3中，延長BD交AF于H．設(shè)BH交AC于G．

∵四邊形AFED是平行四邊形，

∴AF＝DE，DE∥AF，

∵∠BDE＝90°，

∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，

∵∠CGB＝∠AGH，

∴∠CBD＝∠CAF，

∵，

∴，

∴△CBD∽△CAF，

∴，∠BCD＝∠ACF，

∴∠BCA＝∠DCF＝90°，

∵AD∥EF，

∴∠ADC+∠DCF＝180°，

∴∠ADC＝90°，

∵CD：AC＝4：5，設(shè)CD＝4k，AC＝5k，則AD＝EF＝3k，

∴CF＝CD＝2k，

∴EC＝EF﹣CF＝k，

∴DE＝AF＝，

∴．