Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，與軸交于點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點在第一象限的拋物線上，且點的橫坐標為，設的面積為，求與的函數關系式，并求的最大值；

（3）在軸上是否存在點，使以點，，為頂點的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫出點坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），當時，的最大值為8；（3）存在. 或或，

【解析】

（1）拋物線y=ax2+3x+c經過A（-1，0），B（4，0），把A、B兩點坐標代入上式，解得：a=-1，c=4，即可求解；

（2）如圖所示，過點作的垂線，把代入拋物線的解析式，先求出C點坐標，把B，C代入拋物線方程，求出直線的解析式，再根據P點的橫坐標為，得到，，PQ，根據三角形面積公式即可求出S；

（3）存在．分EC=BE、BC=CE、BC=BE分別求解即可．

解：（1）∵拋物線經過，，

把、兩點坐標代入上式，解得：，，

故：拋物線；

（2）∵將代入拋物線的解析式得：，

∴，

把將，代入拋物線方程，

解得：直線的解析式為：.

過點作的垂線，如圖所示：

∵點的橫坐標為，

∴，.

∴.

∴.

∴當時，的最大值為8；

（3）存在. 如圖所示：

當時，在原點，此時點，

當時，在點關于軸對稱點，此時點，

當時，，此時，，

即：或或，.