【題目】已知在△ABC中,AC=BC,AC⊥BC于點C,過點C作直線EF∥AB,點D在直線EF上,連接BD,過點D作GD⊥BD,交直線AC于點H,連接BG.
(1)如圖1所示,當(dāng)點D在射線CF上,點H在射線AC上時,連接BH,過點D作MD⊥CD,交CB的延長線于點M. 求證:∠GBH+∠G=∠M;
(2)如圖2所示,當(dāng)點D在射線CE上,點H在射線CA上時,試判斷并證明DH與BD之間的數(shù)量關(guān)系.
圖1 圖2
【答案】(1)證明見解析; (2)DH=BD.
【解析】分析:(1)如圖1中,作DN⊥EM于N,DP⊥AC于P.只要證明四邊形PCND是矩形,△DPH≌△DNB,推出DH=BD,推出△BDH是等腰直角三角形,由此即可解決問題;(2)如圖2中,作DN⊥BC于N,DP⊥AC于P.只要證明四邊形PCND是矩形,△DPH≌△DNB即可;
本題解析:
(1)證明:如圖1,作DN⊥EM于N,DP⊥AC于P.
∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠A=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠A=∠DCB=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=DNC=∠DPC=90°, ∴四邊形PCND是矩形,∴∠PDN=BDH=90°, ∴PDH=BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD, ∴△BDH是等腰直角三角形,∴∠BHD=45°, ∵∠BHD=∠GBH+∠G, ∴∠GBH+∠G=45°, ∵DM⊥DC, ∴∠M=∠DCM=45°, ∴∠GBH+∠G=∠M.
(2)如圖2,作DN⊥BC于N,DP⊥AC于P,
∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠BCA=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠BAC=∠DCN=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=∠DNC=∠DPC=90°, ∴四邊形PCND是矩形,∴∠PDN=∠BDH=90°, ∴∠PDH=∠BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD.
點睛:本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì).平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識點,能添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,是解本題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊,AE、EF為折痕,∠BAE=30°,AB= ,折疊后,點C落在AD邊上的C1處,并且點B落在EC1邊上的B1處.則BC的長為( )
A. B. 3 C. 2 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過點E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.
(1)求證:四邊形BFEP為菱形;
(2)當(dāng)點E在AD邊上移動時,折痕的端點P、Q也隨之移動;
①當(dāng)點Q與點C重合時(如圖2),求菱形BFEP的邊長;
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動,求出點E在邊AD上移動的最大距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等邊三角形ABC和等腰三角形ABD按如圖所示的位置擺放,∠DAB=90°,AC與BD相交于點E,F(xiàn)為AD上一點,連接EF,CF,CF與BD交于點P,過點D作DG⊥AC于點G,過點B作BH⊥AC于點H. 已知∠ECF=45°.
(1)求證:△CDE≌△DCF;
(2)試判斷CD與EF之間的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A、B兩地相距900 m,甲、乙兩人同時從A地出發(fā),以相同速度勻速步行,20 min后到達B地,甲隨后馬上沿原路按原速返回,回到A地后在原地等候乙回來;乙則在B地停留10 min后也沿原路以原速返回A地,則甲、乙兩人之間的距離s(m)與步行時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為 ( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某兒童服裝店欲購進A、B兩種型號的兒童服裝;經(jīng)調(diào)查:B型號童裝的進貨單價是A型號童裝的進貨單價的兩倍,購進A型號童裝60件和B型號童裝40件共用去2100元.
求A、B兩種型號童裝的進貨單價各是多少元?
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