Question

【題目】如圖1，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，分別以頂點(diǎn)B、A、C為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作、、，我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形，顯然萊洛三角形仍然是軸對(duì)稱圖形，設(shè)點(diǎn)l為對(duì)稱軸的交點(diǎn)．

（1）如圖2，將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)A與線段MN作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)它滾動(dòng)一周后點(diǎn)A與端點(diǎn)N重合，則線段MN的長(zhǎng)為 ；

（2）如圖3，將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)A與等邊△DEF的頂點(diǎn)D重合，且AB⊥DE，DE=2π，將它沿等邊△DEF的邊作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí)，求這個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的區(qū)域的面積；

（3）如圖4，將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)B與⊙O的圓心O重合，⊙O的半徑為3，將它沿⊙O的圓周作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 （請(qǐng)用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）3π；（2）27π；（3）2nπ．

【解析】試題分析：（1）先求出的弧長(zhǎng)，繼而得出萊洛三角形的周長(zhǎng)為3π，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出萊洛三角形等邊△DEF繞一周掃過(guò)的面積如圖所示，利用矩形的面積和扇形的面積之和即可；

（3）先判斷出萊洛三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和O重合旋轉(zhuǎn)一周點(diǎn)I的路徑，再用圓的周長(zhǎng)公式即可得出．

試題解析：解：（1）∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，，∴===π，∴線段MN的長(zhǎng)為=3π．故答案為：3π；

（2）如圖1．∵等邊△DEF的邊長(zhǎng)為2π，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，∴S矩形AGHF=2π×3=6π，由題意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG==3π，∴圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的區(qū)域的面積為3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；

（3）如圖2，連接BI并延長(zhǎng)交AC于D．∵I是△ABC的重心也是內(nèi)心，∴∠DAI=30°，AD=AC=，∴OI=AI==，∴當(dāng)它第1次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過(guò)的路徑是以O為圓心，OI為半徑的圓周，∴當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為n2π=2nπ．故答案為：2nπ．