Question

如圖，正方形ABCD中，AB=2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段AF、BE相交于點(diǎn)P，則線(xiàn)段DP的最小值為__________．

Answer 1

﹣1．

【考點(diǎn)】軌跡；圓周角定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

【分析】首先判斷出△ABE≌△DAF，即可判斷出∠DAF=∠ABE，再根據(jù)∠ABE+∠BEA=90°，可得∠FAD+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根據(jù)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB=90°，可得點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，最后在Rt△AGD中，根據(jù)勾股定理，求出DG的長(zhǎng)度，再求出PG的長(zhǎng)度，即可求出線(xiàn)段DP的最小值為多少．

【解答】解：如圖：

，

∵動(dòng)點(diǎn)F，E的速度相同，

∴DF=AE，

又∵正方形ABCD中，AB=2，

∴AD=AB，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF．

∵∠ABE+∠BEA=90°，

∴∠FAD+∠BEA=90°，

∴∠APB=90°，

∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB=90°，

∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，

AG=BG=AB=1．

在Rt△BCG中，DG===，

∵PG=AG=1，

∴DP=DG﹣PG=﹣1

即線(xiàn)段DP的最小值為﹣1，

故答案為：﹣1．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，解答此題的關(guān)鍵是判斷出什么情況下，DP的長(zhǎng)度最小，利用了了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．