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  • 【題目】如圖1,在半徑為2的扇形AOB中,∠AOB=90°,點(diǎn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)ODBC,OEAC,垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E

    1)當(dāng)BC=1時(shí),求線段OD的長(zhǎng);

    2在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中,△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊或度數(shù)保持不變的角如果存在,請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度或度數(shù)(只求一種即可);如果不存在,請(qǐng)說明理由;

    3DFOE于點(diǎn)F(如圖2),當(dāng)DF 2+EF取得最大值時(shí),求sinBOD的值

    【答案】(1);(2存在,DE的長(zhǎng)度是不變的。證明見解析;(3

    【解析】(1)根據(jù)垂徑定理,可得BD的長(zhǎng)度,根據(jù)勾股定理,可得答案;
    (2)根據(jù)勾股定理,可得AB的長(zhǎng)度,根據(jù)三角形的中位線,可得答案,根據(jù)垂徑定理,可得圓心角相等,根據(jù)角的和差,可得答案;
    (3)根據(jù)勾股定理,可得DF2,根據(jù)二次函數(shù)的最值,可得DF的長(zhǎng)度,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得OD的長(zhǎng)度,根據(jù)正弦的含義,可得答案.

    解:1∵點(diǎn)O是圓心,ODBC,BC=1,

    BD=BC=

    又∵OB=2

    2存在,DE的長(zhǎng)度是不變的.

    如圖,連結(jié)AB,

    ∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、AC的中點(diǎn),

    DE=AB=

    解法二

    存在,∠DOE的度數(shù)是不變的。

    如圖,連結(jié)OC

    可得∠1=2,3=4

    ∵∠AOB=900

    ∴∠2+3=45°即∠DOE=45°,

    3解法一

    如圖,

    設(shè)BD=x,OD2=4-x2

    由(2)解法二,可知∠DOE=45°,

    ∴△DOF是等腰直角三角形,

    RtDFE中,由(2)解法一,可知DE=

    DF 2+EF =

    ∴當(dāng),即BD 時(shí),DF 2+EF取得最大值,

    此時(shí),

    解法二

    如圖,

    設(shè)EF=x,由(2)解法一,可知DE=

    RtDFE中,

    DF 2+EF =

    ∴當(dāng),即EF時(shí),DF 2+EF取得最大值,

    此時(shí),DF

    由(2)解法二,可知∠DOE=45°,

    ∴△DOF是等腰直角三角形,

    OD

    RtBOD中,

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    1a (用含x的代數(shù)式表示);

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