Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交⊙O的切線BE于點E，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DF=3，DE=2，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，連結(jié)OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAF=∠DAO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠DAF=∠ODA，

∴AF∥OD，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線

（2）

解：①連接BD，

∵直徑AB，

∴∠ADB=90°，

∵圓O與BE相切，

∴∠ABE=90°，

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，

∴∠DAB=∠DBE，

∴∠DBE=∠FAD，

∵∠BDE=∠AFD=90°，

∴△BDE∽△AFD，

∴ ．

【解析】（1）連接OD．根據(jù)切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可；（2）①連接BD．根據(jù)BE、DF兩切線的性質(zhì)證明△BDE∽△ABE；又由角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的兩個底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得 ．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．