Question

【題目】2015朝陽）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且∠BDE=∠A．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若AC=16，tanA= ， 求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

解： DE與⊙O相切．理由如下：

連接DO，BD，如圖，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）

解：∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，

而BD⊥AC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，∵tanA==，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半徑為5．

【解析】（1）連接DO，BD，如圖，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，則∠ADO=∠EDB，再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線；
（2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根據(jù)等腰三角形的判定方法得△ABC為等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定義可計(jì)算出BD=6，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB，從而得到⊙O的半徑．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．