Question

如圖，ABCD是正方形，BE∥AC，AE=AC，CF∥AE，求證：∠AEB=2∠BCF。

Answer 1

【答案】證明：連接BD交AC于O，過點A作AH⊥BE于H。

∵BE∥AC，AH⊥BE

∴AH⊥AC

又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∴AH∥OB  ， AO=BO，AO⊥BO

∴四邊形AOBH正方形

∴AH=AO=

∵AE=AC，

∴AH=

∴∠AEH=30°，

又∵BE//AC，AE//CF，

∴四邊形ACFE是菱形，

∴∠ACF=∠AEH=30°，

∵AC是正方形的對角線，∴∠ACB=45°，

∴∠BCF=15°，∴∠AEB=2∠BCF。

【解析】

試題分析：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì)．通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBO，進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題。

由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四邊形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形AHBO是正方形，從AH=OB=1/2AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°．

證明：連接BD交AC于O，過點A作AH⊥BE于H。

∵BE∥AC，AH⊥BE

∴AH⊥AC

又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∴AH∥OB  ， AO=BO，AO⊥BO

∴四邊形AOBH正方形

∴AH=AO=

∵AE=AC，

∴AH=

∴∠AEH=30°，

又∵BE//AC，AE//CF，

∴四邊形ACFE是菱形，

∴∠ACF=∠AEH=30°，

∵AC是正方形的對角線，∴∠ACB=45°，

∴∠BCF=15°，∴∠AEB=2∠BCF。

【難度】較難