Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系；

（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系．②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

 ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC-CD，

∴CF=BC-CD；

（2）CF=BC+CD；（3）①CF=CD-BC；②△AOC是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，從而得證；②根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD=CF，從而求出CF=BC-CD；

（2）與（1）同理可得BD=CF，然后結(jié)合圖形可得CF=BC+CD；

（3）①與（1）同理可得BD=CF，然后結(jié)合圖形可得CF=CD-BC；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)鄰補角的定義求出∠ABD=135°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC=DF，再根據(jù)正方形的對角線相等求出OC=OA，從而得到△AOC是等腰三角形．

試題解析：（1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

 ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC-CD，

∴CF=BC-CD；

（2）與（1）同理可得BD=CF，

所以，CF=BC+CD；

（3）①與（1）同理可得，BD=CF，

所以，CF=CD-BC；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

則∠ABD=180°-45°=135°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，

∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，

∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，

則△FCD為直角三角形，

∵正方形ADEF中，O為DF中點，

∴OC=DF，

∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，

∴OC=OA，

∴△AOC是等腰三角形．

【難度】困難