Question

聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心。

舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心。

應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數(shù)。

探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長。

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理。

解答：應(yīng)用：解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，

∵CD為等邊三角形的高，

∴AD=BD，∠PCB=30°，

∴∠PBD=∠PBC=30°，

∴PD=DB=AB，

與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，

②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，

∴∠APD=45°，

故∠APB=90°；

探究：解：∵BC=5，AB=3，

∴AC=，

①若PB=PC，設(shè)PA=x，則，

∴，即PA=，

②若PA=PC，則PA=2，

③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能。

故PA=2或。