Question

（1）如圖①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且相交于點D，請猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點D．請猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠DBC、∠DCB與∠A的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（2）先根據(jù)外角平分線的性質(zhì)求出∠DBC、∠DCB與∠A的關(guān)系，再由三角形內(nèi)角和定理解答即可．

解答：解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠BDC=90°+

1

2

∠A．

（2）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB），∠BCD=

1

2

（∠A+∠ABC），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-

1

2

（2∠A+180°-∠A）=90°-

1

2

∠A．
即∠BDC=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理：
（1）三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；
（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．