Question

【題目】如圖，RtΔABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，∠DAE=45°，將ΔADC繞點A順時針旋轉90°后，得到ΔAFB，連接EF，下列結論：①ΔAED≌ΔAEF，②，③ΔABC的面積等于四邊形AFBD的面積，④，⑤BE+DC=DE，其中正確的是（ ）

A. ①②④B. ①③④C. ③④⑤D. ①③⑤

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；

②當△ABE∽△ACD時，該比例式成立；

③根據旋轉的性質，△ADC≌△ABF，進而得出△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；

④據①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．

⑤根據①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定該說法是否正確．

①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；

故本選項正確；

②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；

∴當∠BAE=∠CAD時，△ABE∽△ACD，∴；

當∠BAE≠∠CAD時，△ABE與△ACD不相似，即；

∴此比例式不一定成立，故本選項錯誤；

③根據旋轉的性質知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四邊形AFBD，即三角形ABC的面積等于四邊形AFBD的面積，故本選項正確；

④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2．

∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD．

又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本選項正確；

⑤根據①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，故本選項錯誤．

綜上所述：正確的說法是①③④．

故選B．