Question

【題目】如圖，已知點D在⊙O的直徑AB延長線上，點C在⊙O上，過點D作ED⊥AD，與AC的延長線相交于點E，且CD＝DE．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若AB＝8，且BC＝CE時，求BD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 4﹣4.

【解析】

（1）連結(jié)0C，由AB為直徑，得到∠ACB＝90°，求得∠E＝∠ABC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠OCB，等量代換得到∠E＝∠OCB，推出OC⊥CD，于是得到結(jié)論；

（2）連接OC，由（1）得出的∠BCD＝∠A，易知：∠OBC＝∠CDE，由于題中告訴了BC＝CE，可得到的條件是△OBC≌△DCE；因此OC＝CD＝6；在等腰Rt△OCD中，已知了直角邊的長，即可求出斜邊OD的長，進(jìn)而可求出BD的長．

（1）證明：連接OC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD+∠ECD＝90°，

在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠E＝90°﹣∠A，∠ABC＝90°﹣∠A，

∴∠E＝∠ABC，

∵OB＝OC，

∴∠ABC＝∠OCB，

∴∠E＝∠OCB，

又∵CD＝DE，

∴∠E＝∠ECD，

∴∠OCB＝∠ECD，

∴∠OCB+∠BCD＝90°，即OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線．

（2）由（1）知，∠OBC＝∠OCB＝∠DCE＝∠E，

在△OBC和△DCE中，，

∴△OBC≌△DCE（ASA），

∴OC＝CD＝6，

Rt△OCD中，OC＝CD＝4，∠OCD＝90°，

∴OD＝4，

即BD＝OD﹣OB＝4﹣4．